Sequence – Limit

Bài toán : Cho dãy số $(x_n)$ thỏa :

$$\{\begin{array}{c}{x}_0=3\\ x_{n+1}^3-3x_{n+1}=\sqrt{x_n+2}\end{array}$$

Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn, tính giới hạn đó.

Lời giải :

Ta chứng minh dãy $(x_n)$ giảm nghiêm ngặt bằng quy nạp. Dễ dàng kiểm tra được $x_2<x_1$.

Gỉa sử$x_{n+1}<x_n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ta có :

$\sqrt{x_{n+1}+2}$$<\sqrt{x_n+2}$$\Rightarrow x_{n+2}^3-3x_{n+2}$$<x_{n+1}^3-3x_{n+1}$$\Rightarrow x_{n+2}$$<x_{n+1}$

Chú ý tính đồng biến của hàm $f(x)=x^3-3x$. Theo nguyên lí quy nạp ta có $(x_n)$ giảm nghiêm ngặt.

Ta cũng sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng $x_n\ge 2,\forall n\in \mathbb{N}$, hiển nhiên $x_0=3\ge 2$, ta giả sử $x_n\ge 2$

Khi đó $x_{n+1}^3-3x_{n+1}\ge 2\iff x_{n+1}\ge 2$, như vậy theo nguyên lí quy nạp ta có $x_n\ge 2,\forall n\in \mathbb{N}$

Ta có dãy $(x_n)$ bị chặn dưới và giảm nghiêm ngặt nên nó có giới hạn hữu hạn $l$, chuyển qua giới hạn :

$$l^3-3l=\sqrt{l+2}$$

Phương trình này cho nghiệm $l\in \left\{2,2cos\frac{4\pi }{7},2cos\frac{4\pi }{5}\right\}$

(Xem lời giải tại đây)

Chú ý $l\ge 2$ ta được $l=2$.

Như vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=2$