Functional Equation

Bài toán  (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2012 THPT Chuyên Trần Hưng Đạo, Bình Thuận)

Tìm tất cả các hàm số $f$ xác định trên $\mathbb{N}$ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau :

$$\{\begin{array}{c}f(1)=1\\ 2f(n)f(k+n)-2f(k-n)=3f(n)f(k),\forall k,n\in \mathbb{N},k\ge n(1)\end{array}$$

Lời giải :

Trong $(1)$ ta cho $n=k=0$ được $f^2(0)+2f(0)=0\iff f(0)=0\vee f(0)=-2$

Nếu $f(0)=0$ thì trong $(1)$ cho $n=0$ được $f(k)=0,\forall k\in \mathbb{N}$, mâu thuẫn với $f(1)=1$.

Do vậy $f(0)=-2$.

Trong $(1)$ cho $n=1$ và sử dụng $f(1)=1$ ta được :

$$2f(k+1)-2f(k-1)=3f(k),\forall k\in \mathbb{N}$$

Ta đặt $a_k=f(k)$ ta được phương trình sai phân :

$$\{\begin{array}{c}2a_{k+1}=3a_k+2a_{k-1}\\ f(0)=-2,f(1)=1\end{array}$$

Phương trình đặc trưng $X^2-\frac{3}{2}X-1=0\iff X\in \left\{2,-1/2\right\}$

Do vậy

$$a_k=c_1{2}^k+c_2{\left(\frac{-1}{2}\right)}^k$$

Và với $f(0)=-2,f(1)=1$ ta tìm được :

$$c_1=0,c_2=-2$$

Kết luận : Hàm số cần tìm thỏa đề là $\boxed{f(n)=-2{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n}$