Inequality

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2011 THPT Chuyên Lê Hồng Phong TpHCM)

Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\le 1$ và $\frac{4}{z}+y\le 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$$P=x+9y+z$$

Lời giải :

Từ giả thiết ta suy ra :

$$x\ge \frac{2y}{y-1}=\frac{2}{y-1}+2$$ và $$z\ge \frac{4}{2-y}$$

Do đó :

$P$$\ge \frac{2}{y-1}+9y+\frac{4}{2-y}+2$$=\frac{2}{y-1}+18(y-1)+\frac{4}{2-y}+9(2-y)+2$$\ge 2\sqrt{\frac{2}{y-1}.18(y-1)}+2\sqrt{\frac{4}{2-y}.9(2-y)}$$=26$

Kết luận : $MinP=26\iff x=8,y=4/3,z=6$