1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán : Tìm các cặp số nguyên dương và thỏa mãn và đều là các số chính phương. Lời giải : Nếu ta cần tìm sao cho Tương đương : Giải phương trình ước số này trên tập nghiệm nguyên dương ta nhận . Xét , không mất tính tổng quát ta có thể giả sử […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Lương Văn Chánh, Phú Yên) Cho số nguyên dương . Chứng minh rằng không chia hết cho . Lời giải : Bổ đề quen thuộc : Cho hai số nguyên dương mà trong đó là số nguyên tố mà thì và đồng thời chia […]
Bài toán : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Đặt . Trong cho ta được Trong cho ta được Trong cho ta được Do vậy ta tính được . Gỉa sử Nếu thì : Nếu thì : Nếu thì : Theo nguyên lí quy nạp ta có : […]
Bài toán : Cho tam giác có ba đường trung tuyến đồng quy tại và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác lần lượt tại . Chứng minh rằng : Lời giải : Ta có Do đó : Suy ra Hoàn toàn tương tự ta được : Từ đó suy ra : Đây là điều […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2010 THPT Chuyên Hùng Vương, Bình Dương) Giải phương trình Lời giải : Điều kiện . Đặt thì Đặt thì Đặt thì Ta được hệ phương trình hoán vị vòng quanh : Không mất tính tổng quát, ta giả sử ta có : Từ ta được , […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2010 THPT Chuyên Lê Qúy Đôn, Bình Định) Cho ba số dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Lời giải : Ta viết thành : Áp dụng công thức khai triển : Và : Do đó : Kết luận :
Bài toán : Cho là bốn số nguyên tố phân biệt. Chứng minh rằng không tồn tại đa thức bậc ba hệ số nguyên thỏa mãn . Lời giải : Ta xét các trường hợp sau : a) Nếu cả bốn giá trị đều bằng nhau. Không mất tính tổng quát, ta giả sử . Xét đa thức […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2010 THPT Chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi) Giải hệ phương trình Lời giải : Đặt ta được hệ Thuần nhất hóa phương trình đầu : Vì không là nghiệm của hệ nên điều trên tương đương với : Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là
Bài toán : Chứng minh rằng với mỗi đa thức hệ số nguyên thì luôn tồn tại một đa thức hệ số nguyên sao cho hai tập hợp các giá trị của hai đa thức trên tập số nguyên thì rời nhau. Lời giải : Nếu lẻ thì chẵn, do đó cùng tính chẵn lẻ […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2010 THPT Chuyên Lê Qúy Đôn, Bình Định) Cho bát giác có tính chất : Tất cả các đỉnh có tọa độ nguyên và độ dài tất cả các cạnh là những số nguyên. Chứng minh rằng chu vi đa giác là một số chẵn. Lời […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Vị Thanh, Hậu Giang) Trong hình vuông cạnh bằng ta lấy điểm bất kì. Chứng minh rằng có ít nhất điểm nằm trong hình tròn có bán kính bằng . Lời giải : Vẽ hình vuông có cạnh bằng có cùng tâm, các […]
Bài toán : Cho tam giác thỏa điều kiện . Chứng minh rằng : Lời giải : Ta có : Mặt khác : Do vậy : Ta có điều phải chứng minh.
Bài toán : Cho các số dương . Chứng minh rằng : Lời giải : Bất đẳng thức này là thuần nhất nên ta chuẩn hóa . Ta cần chứng minh : Ta có : Lại có : Nên ta chỉ cần chứng minh : Điều này luôn đúng theo :
Bài toán (Iran 2010) Cho các số dương . Chứng minh rằng : Lời giải : Bất đẳng thức trên là thuần nhất nên ta chuẩn hóa . Ta cần chứng minh : Đổi biến thì Cần chứng minh : Ta chứng minh một kết quả mạnh hơn : Điều này là luôn đúng vì […]
Bài toán (Romania-Balkan TST 2006) Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Áp dụng BĐT ta có : Do vậy chỉ cần chứng minh : Thuần nhất hóa : Điều này luôn đúng theo :
Bài toán (Albania 2002) Cho các số dương . Chứng minh rằng : Lời giải : Bất đẳng thức này là thuần nhất nên ta chuẩn hóa . Từ đó ta chỉ cần chứng minh : Đặt ta có : và Do vậy ta cần chỉ ra rằng : Điều này luôn đúng với
Bài toán : Tìm các số nguyên dương thỏa mãn Lời giải : Nếu thì : Điều này không xảy ra vì Do đó phải có . Nếu thì : Điều này cũng không xảy ra vì . Do vậy . Khi ta được , không tồn tại thỏa mãn Khi ta được : Nếu thì : Từ […]
Bài toán : Cho các số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Lời giải : Thay vào : Hay : Coi đây là một tam thức bậc hai theo ẩn , điều kiện để tồn tại là : Mặt khác sử dụng phương pháp phân tích […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2010 THPT Chuyên Thăng Long, Lâm Đồng) Cho dương. Chứng minh rằng : Lời giải : Chú ý rằng ta có : Từ đó ta xây dựng được đẳng thức : Như vậy điều cần chứng minh có thể viết dưới dạng : Điều này là […]
Bài toán : Cho các số dương . Chứng minh rằng : Lời giải 1 : Các đại lượng trong bài toán làm ta liên tưởng đến ngay phương pháp S-S : Thật vậy, chú ý các đẳng thức : Và : Do vậy ta đi chứng minh : Trong đó : Dễ dàng thấy […]