Inequality

Bài toán : Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :

$$\sqrt[3]{\frac{(a+b{)}^2(b+c{)}^2(c+a{)}^2}{abc}}\ge \frac{4}{3}(a+b+c)$$

Lời giải :

Bất đẳng thức này là thuần nhất nên ta chuẩn hóa $a+b+c=3$. Ta cần chứng minh :

$$(a+b)(b+c)(c+a)\ge 8\sqrt{abc}$$

Ta có :

$$(a+b)(b+c)(c+a)=(3-a)(3-b)(3-c)=27-9(a+b+c)+3(ab+bc+ca)-abc=3(ab+bc+ca)-abc$$

Lại có :

$$ab+bc+ca\ge \sqrt{3abc(a+b+c)}=3\sqrt{abc}$$

Nên ta chỉ cần chứng minh :

$$9\sqrt{abc}-abc\ge 8\sqrt{abc}\iff abc\le 1$$

Điều này luôn đúng theo $AM-GM$ :

$$abc\le {\left(\frac{a+b+c}{3}\right)}^3=1$$