Inequality

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2010 THPT Chuyên Thăng Long, Lâm Đồng)

Cho $a,b,c$ dương. Chứng minh rằng :

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$$\ge a+b+c+\frac{1}{b+c}(a-b{)}^2+\frac{1}{c+a}(b-c{)}^2+\frac{1}{a+b}(c-a{)}^2$

Lời giải :

Chú ý rằng ta có :

$$\frac{a^2}{b}+b-2a=\frac{(a-b{)}^2}{b}$$

Từ đó ta xây dựng được đẳng thức :

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-(a+b+c)$$=\frac{(a-b{)}^2}{b}+\frac{(b-c{)}^2}{c}+\frac{(c-a{)}^2}{a}$

Như vậy điều cần chứng minh có thể viết dưới dạng :

$\frac{(a-b{)}^2}{b}+\frac{(b-c{)}^2}{c}+\frac{(c-a{)}^2}{a}$$\ge \frac{1}{b+c}(a-b{)}^2+\frac{1}{c+a}(b-c{)}^2+\frac{1}{a+b}(c-a{)}^2$$\iff$$\iff \frac{c}{b+c}(a-b{)}^2+\frac{a}{c+a}(b-c{)}^2+\frac{b}{a+b}(c-a{)}^2$$\ge 0$

Điều này là hiển nhiên. Ta có điều phải chứng minh