Number Theory

Bài toán : Tìm các cặp số nguyên dương $(x,y)$ và thỏa mãn $x^2+3y$ và $y^2+3x$ đều là các số chính phương.

Lời giải :

Nếu $x=y$ ta cần tìm $x$ sao cho $x^2+3x=k^2\left(k\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right)$

Tương đương :

$$(2x-2k+3)(2x+2k+3)=9$$

Giải phương trình ước số này trên tập nghiệm nguyên dương ta nhận $x=1$.

Xét $x\ne y$, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $x<y$.

Đặt $y^2+3x=a^2\left(a\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right)$

Khi này, ta có :

$$y^2<y^2+3x=a^2<y^2+3y<(y+2{)}^2$$

Kéo theo

$$y^2+3x=(y+1{)}^2\iff 3x=2y+1$$

Vì $x^2+3y$ cũng chính phương nên :

$x^2+3y$$=b^2\left(b\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right)$$\iff x^2+3.\frac{3x-1}{2}$$=b^2$$\iff 2x^2+9x-3$$=2b^2$$\iff (4x-4b+9)(4x+4b+9)$$=105$

Phương trình ước số này cho ta $x\in \left\{1,11\right\}$

Kết luận : Các cặp số thỏa đề bài là $\boxed{(x,y)=(1,1),(11,16),(16,11)}$