Inequality

Bài toán (Iran 2010) Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{(a+b+c{)}^2}$$\ge \frac{7}{25}{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a+b+c}\right)}^2$

Lời giải :

Bất đẳng thức trên là thuần nhất nên ta chuẩn hóa $a+b+c=1$.

Ta cần chứng minh :

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+1$$\ge \frac{7}{25}{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+1\right)}^2$

Đổi biến $\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)\to \left(x,y,z\right)$ thì $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$

Cần chứng minh :

$$x^2+y^2+z^2+1\ge \frac{7}{25}(x+y+z+1{)}^2$$

Ta chứng minh một kết quả mạnh hơn :

$\frac{(x+y+z{)}^2}{3}+1$$\ge \frac{7}{25}(x+y+z+1{)}^2$$\iff \frac{t^2}{3}+1$$\ge \frac{7}{25}(t+1{)}^2(t$$=x+y+z)$$\iff (t-9)(2t-3)$$\ge 0$

Điều này là luôn đúng vì $t=x+y+z\ge \frac{9}{1/x+1/y+1/z}=9$

Ta có điều phải chứng minh.