1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán : Cho các số thực dương thoả mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Theo BĐT ta có : Tương tự với hai phân thức còn lại, dẫn đến việc chứng minh : Áp dụng giả thiết , ta cần chứng minh : Ta có Và Cộng vế theo vế […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2012 THPT Chuyên Lê Qúy Đôn, Bà Rịa Vũng Tàu) Cho các số dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Lời giải : Đặt ta được : Áp dụng BĐT và bất đẳng thức ta được : Kết luận :
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2010 THPT Chuyên Long An, tỉnh Long An) Cho các số dương thỏa . Chứng minh rằng : Lời giải : Nhân hai vế của BĐT cần chứng minh với ta cần chỉ ra : Điều này hiển nhiên đúng theo : Ta được điều phải […]
Bài toán : Cho các số dương thỏa . Chứng minh rằng : Lời giải : Gỉa thiết đã cho có thể viết và cần chứng minh : Ta đặt . Cần chứng minh : Thật vậy, Theo : Do đó : Tức là chỉ cần chứng minh : Điều này luôn đúng. Ta có điều […]
Bài toán (Japan MO 1997) Chứng minh rằng với mọi số thực dương ta đều có : Lời giải : Do tính thuần nhất của bất đẳng thức mà ta có thể chuẩn hóa . Khi đó ta viết BĐT thành : Theo nguyên lí ta có : Theo BĐT : Công việc còn lại […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2010 THPT Chuyên Vị Thanh, Hậu Giang) Cho ba số dương . Chứng minh rằng : Lời giải : Trước hết dễ dàng thấy với các số dương mà thì . Áp dụng tính chất này ta có : Tương tự với hai phân thức còn lại […]
Bài toán : Chứng minh rằng không tồn tại hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Từ giả thiết ta có , điều này chứng tỏ là hàm tăng thực sự. Mặt khác nên Do đó : Ta có : Vì tăng thực sự nên , kéo theo Từ ta suy ra : […]
Bài toán : Cho các số nguyên dương và số nguyên tố thoả mãn : Chứng minh rằng chia hết cho . Lời giải : Đặt Thay vào ta được : Nếu , không mất tính tổng quát giả sử thì : Như vậy là một ước của , điều này là vô lí vì lẻ. […]
Bài toán (Vasile Cirtoaje) Cho các số không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Theo BĐT : Do vậy ta đi chứng minh : Ta đổi biến thì và cần chứng minh : Đặt thì ta phải chứng minh : Điều này luôn đúng theo BĐT : Ta có điều […]
Bài toán (Lê Trung Kiên, Võ Quốc Bá Cẩn) Cho các số thực dương thỏa . Chứng minh rằng : Lời giải : Sự xuất hiện của các đa thức đối xứng ở cả giả thiết lẫn đề bài gợi cho ta nghĩ ngay đến việc đổi biến và sau đó cố gắng đưa về […]
Bài toán (Vasile Cirtoaje) Cho các số dương thỏa . Chứng minh rằng : Lời giải : Đặt . Ta đi chứng minh : Như vậy để chứng minh được điều này, ta quy về chứng minh BĐT một biến bằng cách chỉ ra : và sau đó thì chứng minh Để ý rằng nếu […]
Bài toán : Cho các số không âm sao cho không có hai số nào đồng thời bằng và thỏa . Chứng minh rằng : Lời giải : Đặt ta đưa BĐT cần chứng minh về : Nếu thì theo BĐT ta có : Do vậy ta cần chứng minh : Điều này luôn đúng […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2012 THPT Chuyên Hùng Vương, Bình Dương) Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Đặt thì . Và cần chứng minh : Ta không thể sử dụng BĐT vì không đúng chiều với BĐT cần chứng minh. Chú ý […]
Bài toán : Tìm hàm số và thỏa mãn : Lời giải 1: Trong cho ta được Trong cho ta được Từ hai điều này ta tìm được . Từ đó dựa vào ta chứng minh được bằng quy nạp : Trong thay bởi ta được : Kéo theo : Đặt ta được : Rõ […]
Bài toán : Tìm các số nguyên dương thỏa mãn phương trình : Lời giải : Trước hết ta thấy nếu thì . Thật vậy, ta chứng minh : bằng quy nạp. Gỉa sử điều này đúng với , xét với : Theo nguyên lí quy nạp thì ta có với mọi . Từ đó, […]
Bài toán : Tìm các đa thức có dạng , trong đó và có các nghiệm đều là nghiệm thực. Lời giải : Gọi là nghiệm thực của . Ta xét . Theo định lí : Do đó : Từ đó . Áp dụng BĐT : Với ta được Với ta được Với ta được Tương tự […]
DANH SÁCH TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1 Cho các số thực thỏa mãn và . Chứng minh rằng : Bài 2 Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng : Bài 3 Cho các số không âm sao cho không có hai số nào đồng thời bằng và […]
Bài toán : Cho các số thực dương . Chứng minh rằng : Lời giải : Bất đẳng thức này là thuần nhất nên ta chuẩn hóa . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành : Ta đổi biến thì và cần chứng minh : Thật vậy, theo Kéo theo : Hơn nữa theo […]
Bài toán : Giải hệ phương trình Lời giải : Biến đổi tương đương phương trình đầu : Nếu thay vào phương trình sau ta được : Nếu thì do nên . Mà từ phương trình sau ta có : Đây là điều mâu thuẫn vì với thì Kết luận : Nghiệm của hệ phương […]
Bài toán : Cho các số dương . Chứng minh rằng : Lời giải : Đặt , BĐT đã cho có thể viết thành : Áp dụng BĐT ta có : Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng vế chúng lại ta được : Đây là điều cần chứng minh.