Number Theory

Bài toán : Cho các số nguyên dương $n,a,b$ và số nguyên tố $p$ thoả mãn :

$$a^p+b^p=2^n$$

Chứng minh rằng $n-1$ chia hết cho $p$.

Lời giải :

Đặt $a=2^k.x,b=2^l.y(k,l,x,y\in \mathbb{N};2\nmid x,2\nmid y)$

Thay vào ta được :

$$2^{kp}.x^p+2^{lp}.y^p=2^n$$

Nếu $k\ne l$, không mất tính tổng quát giả sử $k>l$ thì :

$$2^{lp}\left(2^{kp-lp}{x}^p+y^p\right)=2^n$$

Như vậy $2^{kp-lp}{x}^p+y^p$ là một ước của $2^n$, điều này là vô lí vì $2^{kp-lp}{x}^p+y^p$ lẻ.

Do đó ta phải có $k=l$.

Xét $p$ lẻ, ta được :

$$2^{kp}(x^p+y^p)=2^n\iff (x+y)(x^{p-1}-x^{p-2}.y+...+y^{p-1})=2^{n-kp}$$

Mà $x^{p-1}-x^{p-2}.y+...+y^{p-1}$ là tổng của một số lẻ các số lẻ nên nó là một số lẻ, kéo theo

$$x^{p-1}-x^{p-2}.y+...+y^{p-1}=1=\frac{x^p+y^p}{x+y}\Rightarrow x^p+y^p=x+y\Rightarrow x=y=1$$

Từ đó ta được : $a=b=2^k$

Dẫn đến :

$$2^{kp+1}=2^n\Rightarrow n=kp+1\Rightarrow p\mid n-1$$.

Xét $p=2$ thì phương trình $a^2+b^2=2^n$ là một phương trình $Pythagoras$, vô lí vì $2^n$ chẵn.

Ta có điều phải chứng minh.