Number Theory

Bài toán : Tìm các số nguyên dương $x, m, n$ thỏa mãn phương trình :

$(x + 1)^{m} - x^{n} = 17$

Lời giải :

Trước hết ta thấy nếu $m < n$ thì $(x + 1)^{m} < x^{n}$ . Thật vậy, ta chứng minh :

$(x + 1)^{ma x (m)} = (x + 1)^{n - 1} < x^{n}$ bằng quy nạp.

Gỉa sử điều này đúng với $n - 1$ , xét với $n$ :

$(x + 1)^{n} = (x + 1)^{n - 1} . (x + 1) < x^{n} (x + 1) < x^{n + 1}$

Theo nguyên lí quy nạp thì ta có $(x + 1)^{m} < x^{n}$ với mọi $m < n$ .

Từ đó, ta nhận xét nếu $m < n$ thì $17 = (x + 1)^{m} - x^{n} < 0$ và điều này vô lí,

Do vậy phải có $m \geq n$ . Kéo theo $x^{m} - x^{n} \geq 0$

Phương trình được viết lại như sau :

$(x^{m} - x^{n}) + (C_{m}^{1} x^{m - 1} + C_{m}^{2} x^{m - 2} + ... + C_{m}^{m - 1} x) = 16 \Rightarrow C_{m}^{1} x^{m - 1} + C_{m}^{2} x^{m - 2} + ... + C_{m}^{m - 1} x \leq 16$

Xét $x = 1$ ta được $2^{m} - 1^{n} = 17 \Leftrightarrow 2^{m} = 18$ (mâu thuẫn)

Xét $x = 2$ ta được $3^{m} - 2^{n} = 17$ . Hiển nhiên $n = 1$ không thỏa nên xét $n \geq 2$ . Xét đồng dư modulo $3$ ta được $n$ chẵn, xét đồng dư modulo $4$ ta được $m$ chẵn.

Ta được phương trình ước số :

$(3^{m /2} - 2^{n /2}) (3^{m /2} - 2^{n /2}) = 17$

Phương trình này cho ta nghiệm $(m, n) = (4, 6)$

Xét $x > 2$ . Nếu $m > 5$ thì ta có :

$C_{m}^{1} x^{m - 1} + C_{m}^{2} x^{m - 2} + ... + C_{m}^{m - 1} x > x^{m - 1} + x^{m - 2} + ... + x > 2^{5 - 1} + 2^{4 - 1} + 2^{3 - 1} + 2 > 16$

Và đây là điều mâu thuẫn. Do đó ta có $m \in {1, 2, 3, 4}$ .

Mặt khác từ phương trình $(x + 1)^{m} - x^{n} = 17$ ta còn suy ra $x ∣ 16$ .

Tức là $x \in {4, 8, 16}$ . Từ đó bằng cách thử nghiệm ta nhận $(x, m, n) = (8, 2, 2)$

Kết luận : Nghiệm nguyên dương của phương trình là $(x, m, n) = (2, 4, 6), (8, 2, 2)$

Number Theory

Đề bài

Mô tả