Inequality

Bài toán : Cho các số không âm $a,b,c$ sao cho không có hai số nào đồng thời bằng $0$ và thỏa $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng :

$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge \frac{5}{2}$$

Lời giải :

Đặt $p=a+b+c,q=ab+bc+ca=1,r=abc$ ta đưa BĐT cần chứng minh về :

$\frac{(a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$\ge \frac{5}{2}$$\iff \frac{p^2+q}{pq-r}$$=\frac{p^2+1}{p-r}$$\ge \frac{5}{2}$$\iff 2p^2-5p+2+5r$$\ge 0$

Nếu $\sqrt{3}\le p\le 2$ thì theo BĐT $Schur$ ta có :

$$5r\ge \frac{5}{9}(4pq-p^3)=\frac{5}{9}(4p-p^3)$$

Do vậy ta cần chứng minh :

$2p^2-5p+2+\frac{5}{9}(4p-p^3)$$\ge 0$$\iff 5p^3-18p^2+25p-18$$\le 0$$\iff (p-2)(5p^2-8p+9)$$\le 0$

Điều này luôn đúng vì $p\le 2$.

Nếu $p\ge 2$ thì $2p^2-5p+2+5r\ge 2p^2-5p+2=(p-2)(2p-1)\ge 0$

Tóm lại, BĐT đã cho được chứng minh.