Inequality

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2012 THPT Chuyên Lê Qúy Đôn, Bà Rịa Vũng Tàu)

Cho các số dương $a,b,c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$P$$=\frac{(a+b{)}^2}{(b+3c+2a)(2b+3c+a)}+\frac{(b+c{)}^2}{(c+3a+2b)(2c+3a+b)}+\frac{(c+a{)}^2}{(a+3b+2c)(2a+3b+c)}$

Lời giải :

Đặt $x=b+c,y=c+a,z=a+b$ ta được :

$$P=\frac{x^2}{(y+2z)(z+2y)}+\frac{y^2}{(z+2x)(x+2z)}+\frac{z^2}{(x+2y)(y+2x)}$$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ và bất đẳng thức $Nesbitt$ ta được :

$P$$=\frac{x^2}{(y+2z)(z+2y)}+\frac{y^2}{(z+2x)(x+2z)}+\frac{z^2}{(x+2y)(y+2x)}$$\ge \sum _{cyc}\frac{x^2}{\frac{(3y+3z{)}^2}{4}}$$=\frac{4}{9}\sum _{cyc}{\left(\frac{x}{y+z}\right)}^2$$\ge \frac{4}{9}.\frac{1}{3}{\left(\sum _{cyc}\frac{x}{y+z}\right)}^2$$\ge \frac{4}{9}.\frac{1}{3}.{\left(\frac{3}{2}\right)}^2$$=\frac{1}{3}$

Kết luận : $MinP=\frac{1}{3}\iff a=b=c$