Inequality

Bài toán (Vasile Cirtoaje)

Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a^3+b^3+c^3=3$. Chứng minh rằng :

$$a^4{b}^4+b^4{c}^4+c^4{a}^4\le 3$$

Lời giải :

Theo BĐT $AM-GM$ :

$a^4{b}^4+b^4{c}^4+c^4{a}^4$$\le a^3{b}^3\left(\frac{a^3+b^3+1}{3}\right)+b^3{c}^3\left(\frac{b^3+c^3+1}{3}\right)+c^3{a}^3\left(\frac{c^3+a^3+1}{3}\right)$$=\frac{\sum _{cyc}{a}^3{b}^3(a^3+b^3)+\sum _{cyc}{a}^3{b}^3}{3}$

Do vậy ta đi chứng minh :

$$a^3{b}^3(a^3+b^3)+b^3{c}^3(b^3+c^3)+c^3{a}^3(c^3+a^3)+a^3{b}^3+b^3{c}^3+c^3{a}^3\le 9$$

Ta đổi biến $\left(a^3,b^3,c^3\right)\to (x,y,z)$ thì $x+y+z=3$ và cần chứng minh :

$$xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)+xy+yz+zx\le 3\iff (xy+yz+zx)(x+y+z)+(xy+yz+zx)\le 9+3xyz$$

Đặt $p=x+y+z=1,q=xy+yz+zx=q,xyz=r$ thì ta phải chứng minh :

$$9+3r\ge q+pq=4q$$

Điều này luôn đúng theo BĐT $Schur$ :

$$9r\ge 4pq-p^3=12q-27\iff 9+3r\ge 4q$$

Ta có điều phải chứng minh.