Inequality

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2010 THPT Chuyên Vị Thanh, Hậu Giang)

Cho ba số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$$<\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$

Lời giải :

Trước hết dễ dàng thấy với các số dương $x,y,z$ mà $x<y$ thì $\frac{x}{y}<\frac{x+z}{y+z}$. Áp dụng tính chất này ta có :

$$\frac{a}{a+b}<\frac{a+c}{a+b+c}$$

Tương tự với hai phân thức còn lại ta suy ra :

$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2(1)$$

Mặt khác, theo BĐT $AM-GM$ :

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$$=\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}+\frac{b}{\sqrt{b(c+a)}}+\frac{c}{\sqrt{c(a+b)}}$$\ge \frac{a+b+c}{\frac{a+b+c}{2}}$$=2(2)$

Từ $(1)(2)$ ta được điều phải chứng minh.