Functional Equation

Bài toán : Tìm hàm số $f:{\mathbb{Q}}^{+}\to {\mathbb{Q}}^{+}$ và thỏa mãn :

$$f\left(x+\frac{y}{x}\right)=f(x)+\frac{f(y)}{f(x)}+2y,\forall x,y\in {\mathbb{Q}}^{+}(1)$$

Lời giải 1:

Trong $(1)$ cho $x=y$ ta được $f(x+1)=f(x)+2x+1,\forall x\in {\mathbb{Q}}^{+}(\ast )$

Trong $(1)$ cho $x=1$ ta được

$f(1+y)$$=f(1)+\frac{f(y)}{f(1)}+2y,\forall y\in {\mathbb{Q}}^{+}$$\iff f(x+1)$$=f(1)+\frac{f(x)}{f(1)}+2x,\forall x\in {\mathbb{Q}}^{+}$

Từ hai điều này ta tìm được $f(1)=1$. Từ đó dựa vào $(\ast )$ ta chứng minh được bằng quy nạp :

$$f(x)=x^2,\forall x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

Trong $(1)$ thay $x$ bởi $\frac{y}{x}$ ta được :

$f\left(x+\frac{y}{x}\right)$$=f\left(\frac{y}{x}+\frac{y}{y/x}\right)$$=f\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{f(y)}{f(y/x)}+2y,\forall x,y\in {\mathbb{Q}}^{+}$

Kéo theo :

$f\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{f(y)}{f(y/x)}+2y$$=f(x)+\frac{f(y)}{f(x)}+2y,\forall x,y\in {\mathbb{Q}}^{+}$

Đặt $\frac{y}{x}=t\in {\mathbb{Q}}^{+}\Rightarrow y=xt$ ta được :

$f(t)+\frac{f(xt)}{f(t)}$$=f(x)+\frac{f(xt)}{f(x)}$$\iff f^2(t)f(x)+f(xt)f(x)$$=f^2(x)f(t)+f(xt)f(t),\forall x,t\in {\mathbb{Q}}^{+}$$\iff \left[f(t)-f(x)\right]\left[f(xt)-f(x)f(t)\right]$$=0,\forall x,t\in {\mathbb{Q}}^{+}$

Rõ ràng nếu $f(t)=f(x),\forall x,t\in {\mathbb{Q}}^{+}\Rightarrow f\equiv const$, thử lại không thỏa.

Do đó $f$ là hàm nhân tính :

$$f(xt)=f(x)f(t),\forall x,t\in {\mathbb{Q}}^{+}$$

Trong $(\ast )$ ta cho $x=\frac{1}{n}\in {\mathbb{Q}}^{+},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, chú ý tính nhân tính của hàm $f$ :

$f\left(1+\frac{1}{n}\right)$$=f\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{2}{n}+1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$\iff f\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{2}{n}+1$$=f\left(\frac{n+1}{n}\right)$$=f\left(n+1\right)f\left(\frac{1}{n}\right)$$=(n+1{)}^{2}f\left(\frac{1}{n}\right),\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$\iff f\left(\frac{1}{n}\right)$$=\frac{1}{n^2}$

Trong $(\ast )$ ta cho $x=\frac{m}{n}\in {\mathbb{Q}}^{+},m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ :

$f\left(1+\frac{m}{n}\right)$$=f\left(\frac{m}{n}\right)+\frac{2m}{n}+1,\forall m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$\iff f\left(\frac{m}{n}\right)+\frac{2m}{n}+1$$=f\left(\frac{m+n}{n}\right)$$=f(m+n)f\left(\frac{1}{n}\right)$$=(m+n{)}^2.\frac{1}{n^2},\forall m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$\iff f\left(\frac{m}{n}\right)$$={\left(\frac{m}{n}\right)}^2,\forall m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Do đó $f(x)=x^2,\forall x\in {\mathbb{Q}}^{+}$. Thử lại thỏa mãn.

 

Lời giải 2 :

Trong $(1)$ cho $x=y$ ta được $f(x+1)=f(x)+2x+1,\forall x\in {\mathbb{Q}}^{+}(\ast )$

Trong $(1)$ cho $x=1$ ta được

$f(1+y)$$=f(1)+\frac{f(y)}{f(1)}+2y,\forall y\in {\mathbb{Q}}^{+}$$\iff f(x+1)$$=f(1)+\frac{f(x)}{f(1)}+2x,\forall x\in {\mathbb{Q}}^{+}$

Từ hai điều này ta tìm được $f(1)=1$. Từ đó dựa vào $(\ast )$ ta chứng minh được bằng quy nạp :

$$f(x)=x^2,\forall x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

Cũng dựa vào $(\ast )$ ta quy nạp được :

$$f(x+n)=f(x)+2nx+n^2,\forall x\in {\mathbb{Q}}^{+},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

Ta tính $f\left(n+\frac{m}{n}\right)$ theo hai cách như sau :

Ta có :

• $f\left(n+\frac{m}{n}\right)$$=f(n)+\frac{f(m)}{f(n)}+2m$$=n^2+{\left(\frac{m}{n}\right)}^2+2m,\forall m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$
• $f\left(n+\frac{m}{n}\right)$$=f\left(\frac{m}{n}\right)+2n.\frac{m}{n}+n^2,\forall m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Từ đó suy ra :

$f\left(\frac{m}{n}\right)+2n.\frac{m}{n}+n^2$$=f(n)+\frac{f(m)}{f(n)}+2m$$=n^2+{\left(\frac{m}{n}\right)}^2+2m,\forall m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$\iff f\left(\frac{m}{n}\right)$$={\left(\frac{m}{n}\right)}^2\forall m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Do đó $f(x)=x^2,\forall x\in {\mathbb{Q}}^{+}$. Thử lại thỏa mãn.

 

Kết luận : Hàm số cần tìm thỏa đề là $\boxed{f(x)=x^2,\forall x\in {\mathbb{Q}}^{+}}$