System Of Equations

Bài toán : Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}x-\frac{1}{x^3}=y-\frac{1}{y^3}\\ (x-4y)(2x-y+4)=-36\end{array}$

Lời giải :

Biến đổi tương đương phương trình đầu :

$x-y+\frac{1}{y^3}-\frac{1}{x^3}$$=0$$\iff (x-y)\left(1+\frac{x^2+xy+y^2}{x^3{y}^3}\right)$$=0$$\iff x$$=y\vee x^2+xy+y^2$$=-x^3{y}^3$

Nếu $x=y$ thay vào phương trình sau ta được :

$$-3x(x+4)=-36\iff x\in \left\{2,-6\right\}$$

Nếu $x^2+xy+y^2=-x^3{y}^3$ thì do $x^2+xy+y^2={\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2+\frac{3y^2}{4}>0$ nên $xy<0$.

Mà từ phương trình sau ta có :

$$2x^2+4y^2-9xy+4x-16y+36=0\iff 2(x+1{)}^2+4(y-2{)}^2-9xy+18=0$$

Đây là điều mâu thuẫn vì với $xy<0$ thì $2(x+1{)}^2+4(y-2{)}^2-9xy+18>0$

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là $(x,y)=(2,2),(-6,-6)$