Functional Equation

Bài toán : Chứng minh rằng không tồn tại hàm số $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ và thỏa mãn :

$$f(f(n-1))=f(n+1)-f(n),\forall n\ge 2$$

Lời giải :

Từ giả thiết ta có $f(n+1)>f(n)$, điều này chứng tỏ $f$ là hàm tăng thực sự.

Mặt khác $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ nên $f(n+1)\ge f(n)+1$

Do đó :

$f(n)$$=\left(f(n)-f(n-1)\right)+\left(f(n-1)-f(n-2)\right)+...+\left(f(3)-f(2)\right)+f(2)$$\ge n-2+f(2)$$\ge n-2+f(1)+1$$\ge n-1(1)$

Ta có :

$$f(f(n-1))<f(n+1)\Rightarrow f(f(n))<f(n+2)$$

Vì $f$ tăng thực sự nên $f(n)<n+2$, kéo theo $f(n)\le n+1(2)$

Từ $(1)(2)$ ta suy ra :

$$n-1\le f(n)\le n+1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },n\ge 2$$

Từ đây suy ra $f\left(n\right)\in \left\{n-1,n,n+1\right\},\forall n\ge 2$. Thử lại đều không thỏa mãn.

Ta có điều phải chứng minh.