Polynomial

Bài toán : Tìm các đa thức có dạng $P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{1} x + a_{0}$ , trong đó $a_{i} \in {- 1, 1}, \forall i = \overline{0, n}$ và có các nghiệm đều là nghiệm thực.

Lời giải :

Gọi $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$ là $n$ nghiệm thực của $P (x)$ . Ta xét $a_{n} = 1$ .

Theo định lí $V i e t e$ :

$⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + ... + x_{n} = \frac{- a _{n - 1}}{a _{n}} = - a_{n - 1} x_{1} x_{2} ... x_{n} = (- 1)^{n} . \frac{a _{0}}{a _{n}} = (- 1)^{n} . a_{0}$

Do đó :

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ... + x_{n}^{2} = (x_{1} + x_{2} + ... + x_{n})^{2} - 2 0 \leq i < j \leq n \sum x_{i} x_{j} = 1 - 2 a_{n - 2} \geq 0 \Leftrightarrow 2 a_{n - 2} \leq 1 \Rightarrow a_{n - 2} = - 1$

Từ đó $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ... + x_{n}^{2} = 3$ .

Áp dụng BĐT $A M - GM$ :

$3 = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ... + x_{n}^{2} \geq n n (x_{1} x_{2} ... x_{n})^{2} = n \Rightarrow n \leq 3$

Với $n = 1$ ta được $P (x) \in {x + 1, x - 1}$

Với $n = 2$ ta được $P (x) \in {x^{2} - x - 1, x^{2} + x - 1}$

Với $n = 3$ ta được $P (x) \in {x^{3} + x^{2} - x - 1, x^{3} - x^{2} - x + 1}$

Tương tự khi ta xét $a_{n} = - 1$ .

Kết luận : Có tất cả mười hai đa thức cần tìm thỏa đề :

$P (x) = x + 1, P (x) = x - 1, P (x) = - x - 1, P (x) = - x + 1$

$P (x) = x^{2} - x - 1, P (x) = - x^{2} + x + 1, P (x) = x^{2} + x - 1, P (x) = - x^{2} - x + 1$

$P (x) = x^{3} + x^{2} - x - 1, P (x) = x^{3} - x^{2} - x + 1, P (x) = - x^{3} - x^{2} + x + 1, P (x) = - x^{3} + x^{2} + x - 1$

Polynomial

Đề bài

Mô tả