Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức

DANH SÁCH TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

Bài 1  Cho các số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^2+b^2=1$ và $c+d=3$. Chứng minh rằng :

$$ac+bd+cd\le \frac{9+6\sqrt{2}}{4}$$

Bài 2  Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng :

$$5(a+b+c)+\frac{3}{abc}\ge 18$$

Bài 3  Cho các số không âm $a,b,c$ sao cho không có hai số nào đồng thời bằng $0$ và thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng :

$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge \frac{5}{2}$$

Bài 4  Cho các số dương $a,b,c$ sao cho $abc=1$. Chứng minh rằng :

$$1+\frac{3}{a+b+c}\ge \frac{6}{ab+bc+ca}$$

Bài 5  Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $ab+bc+ca+6abc=9$. Chứng minh rằng :

$$a+b+c+3abc\ge 6$$

Bài 6  Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a^3+b^3+c^3=3$. Chứng minh rằng :

$$a^4{b}^4+b^4{c}^4+c^4{a}^4\le 3$$

Bài 7  Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Chứng minh rằng :

$$a+b+c\le 3$$

Bài 8  Cho các số dương $x_1,x_2,...,x_n$ thỏa mãn $\frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_2}+...+\frac{1}{1+x_n}=1$. Chứng minh :

$\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_n}$$\ge \left(n-1\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x_1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_n}}\right)$

Bài 9  Cho $a,b,c$ là ba số thực dương thỏa mãn $15a+\sqrt[3]{5}b+\sqrt[5]{3}c=3$. Tìm giá trị lớn nhất của :

$$A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^5}$$

Bài 10  Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất của :

$$P=x^2{y}^3{z}^4$$

Bài 11  Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :

$$10a^2+10b^2+c^2\ge 4(ab+bc+ca)$$

Bài 12  Cho các số dương $a,b,c$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$$P=\frac{4ab+6ac+8bc}{(a+b+c{)}^2}$$

Bài 13  Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$$F=x^4+2y^4+3z^4$$

Bài 14  Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :

$$\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}+\frac{2}{3}\ge \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$$

Bài 15  Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :

$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{1}{3}$$\ge \frac{8}{9}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)$

Bài 16  Cho các số dương $v,l,t$ thỏa mãn $\{\begin{array}{c}\frac{2}{5}\le t\le min\left\{v,l\right\}\\ vt\ge \frac{4}{5}\\ lt\ge \frac{1}{5}\end{array}$

Tìm giá trị lớn nhất của :

$$E(v,l,t)=\frac{1}{v}+\frac{2}{l}+\frac{3}{t}$$

Bài 17  Cho các số không âm $a_1,a_2,...,a_n$ thỏa mãn $a_1{a}_2...a_k\ge \frac{1}{(2k)!},\forall k=\overline{1,n}$. Chứng minh rằng :

$$a_1+a_2+...a_n\ge \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}$$

Bài 18  Cho các số thực $x,y,z$ mà $0<x<y\le z\le 1$ và thỏa mãn $3x+2y+z\le 4$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$$P=3x^3+2y^3+z^3$$

Bài 19  Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a\ge b\ge c>0$ và $\{\begin{array}{c}x\ge a\\ x+y\ge a+b\\ x+y+z\ge a+b+c\end{array}$. Chứng minh rằng :

$$x^2+y^2+z^2\ge a^2+b^2+c^2$$

Bài 20  Cho các số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $\{\begin{array}{c}0<a\le b\le c\le d\\ \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{d}{c}\ge 3\\ \frac{2}{b}+\frac{d}{c}\ge 2\end{array}$. Chứng minh rằng :

$$a^4+b^4+c^4-d^4\le 17$$

Bài 21 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $ab+bc+ca=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của :

$$P=\frac{a}{1+2b^3}+\frac{b}{1+2c^3}+\frac{c}{1+2a^3}$$

Bài 22 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Chứng minh rằng :

$$a\sqrt{4-a^2}+b\sqrt{4-b^2}+c\sqrt{4-c^2}\le 3\sqrt{3}$$

Bài 23 Cho các số thực $a,b,c\ge 1$ và thỏa mãn $a+b+c+2=abc$. Chứng minh rằng :

$$bc\sqrt{a^2-1}+ca\sqrt{b^2-1}+ab\sqrt{c^2-1}\le \frac{3\sqrt{3}}{2}abc$$

Bài 24 Cho các số thực $a,b,c\in \left(0,2\right)$ và thỏa $ab+bc+ca+abc=4$. Chứng minh rằng :

$$\sqrt{4-a^2}+\sqrt{4-b^2}+\sqrt{4-c^2}\le 3\sqrt{3}$$

Bài 25 Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng :

$$xy+yz+zx\ge 3+\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}$$

Bài 26 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=abc$. Chứng minh rằng :

$$(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)\le \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}$$

Bài 27 Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy=1+z(x+y)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$$P=\frac{2xy(1+xy)}{(1+x^2)(1+y^2)}+\frac{z}{1+z^2}$$

Bài 28 Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz+x+y-z=0$. Tìm giá trị lớn nhất của :

$$P=\frac{2}{x^2+1}+\frac{3}{y^2+1}-\frac{2}{z^2+1}$$

Bài 29 Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $6x+3y+2z=xyz$. Tìm giá trị lớn nhất của :

$$P=\frac{x\sqrt{yz}}{\sqrt{x^2+1}\sqrt[4]{(y^2+4)(z^2+9)}}$$

Bài 30 Cho $k$ là số nguyên dương và $n$ số thực $a_1,a_2,...,a_n$ thỏa mãn :

$$\frac{1}{1+a_1^{2k}}+\frac{1}{1+a_2^{2k}}+...\frac{1}{1+a_n^{2k}}=1$$

Chứng minh rằng :

$$a_1{a}_2...a_n\ge (n-1{)}^{n/2k}$$

Bài 31 Trong các nghiệm $(x,y,z,t)$ của hệ $\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=1\\ z^2+t^2=2\\ xt+yz\ge \sqrt{2}\end{array}$

Tìm nghiệm sao cho $y+t$ nhỏ nhất.

Bài 32 Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :

$\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$$\ge 4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)$

Bài 33 Cho các số thực dương $x,y,z$ sao cho $x(x+y+z)=3yz$. Chứng minh rằng :

$$(x+y{)}^3+(x+z{)}^3+3(x+y)(y+z)(z+x)\le 5(y+z{)}^3$$

Bài 34 Cho các số thực dương $a,b,c$ mà $a+b+c=1$. Chứng minh rằng :

$\sqrt{\frac{1}{a}-1}.\sqrt{\frac{1}{b}-1}+\sqrt{\frac{1}{b}-1}.\sqrt{\frac{1}{c}-1}+\sqrt{\frac{1}{c}-1}.\sqrt{\frac{1}{a}-1}$$\ge 6$

Bài 35 Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Chứng minh rằng :

$$0\le ab+bc+ca-abc\le 2$$

Bài 36 Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)=1$. Chứng minh rằng :

$$ab+bc+ca\le \frac{3}{4}$$

Bài 37 Cho các số thực $a,b,c\in \left(0,1\right)$ và thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng :

$\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}$$\ge \frac{3}{4}\left(\frac{1-a^2}{a}+\frac{1-b^2}{b}+\frac{1-c^2}{c}\right)$

Bài 38 Cho các số thực dương $x,y,z$. Chứng minh rằng :

$\sqrt{\frac{y+z}{x}}+\sqrt{\frac{y+z}{x}}+\sqrt{\frac{y+z}{x}}$$\ge \sqrt{\frac{16(x+y+z{)}^3}{3(x+y)(y+z)(z+x)}}$

Bài 39 Cho các số thực $a,b,c,d\in \left[0,1\right]$. Chứng minh rằng 

$$(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)+a+b+c+d\ge 1$$

Bài 40 Cho các số thực $a,b,c,d,e\in \left[0,1\right]$. Chứng minh rằng :

$$\frac{a}{1+bcde}+\frac{b}{1+acde}+\frac{c}{1+abde}+\frac{d}{1+abce}+\frac{e}{1+abcd}\le 1$$

Bài 41 Cho các số thực $a,b,c\in \left[0,1\right]$. Chứng minh rằng :

$$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\le 1$$

Bài 42 Cho các số dương $a,b,c,d,e\in \left[p,q\right]$. Chứng minh rằng :

$(a+b+c+d+e)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}\right)$$\le 25+6{\left(\sqrt{\frac{p}{q}}-\sqrt{\frac{q}{p}}\right)}^2$

Bài 43 Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $x^2+2y^2=3$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của :

$$P=\frac{x^2-xy}{x^2+1}$$

Bài 44 Cho $x,y,z$ là các số thực. Chứng minh :

$$\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}\ge \sqrt{z^2+zx+x^2}$$

Bài 45 Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :

$\frac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{a}}{b+c}+\frac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{b}}{c+a}+\frac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{c}}{a+b}$$\ge \frac{9+3\sqrt{3}}{2}$

Bài 46 Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ ta đều có :

$\frac{(b+c-a{)}^2}{a^2+(b+c{)}^2}+\frac{(c+a-b{)}^2}{b^2+(c+a{)}^2}+\frac{(a+b-c{)}^2}{c^2+(a+b{)}^2}$$\ge \frac{3}{5}$

Bài 47 Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :

$$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\ge \sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}$$

Bài 48 Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh :

$$abc+\sqrt[3]{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}\ge ab+bc+ca$$

Bài 49 Cho ba số dương $x,y,z$ thỏa mãn $\{\begin{array}{c}1\le z\le min\left\{x,y\right\}\\ xz\ge 3\\ yz\ge 2\end{array}$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$$P=\frac{30}{x}+\frac{4}{y}+\frac{2010}{z}$$

Bài 50 Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :

$$\sqrt[3]{\frac{(a+b{)}^2(b+c{)}^2(c+a{)}^2}{abc}}\ge \frac{4}{3}(a+b+c)$$

Bài 51 Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{(a+b+c{)}^2}$$\ge \frac{7}{25}{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a+b+c}\right)}^2$

Bài 52 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng 

$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge 3(a^2+b^2+c^2)$$

Bài 53 Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :

$\frac{1+\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}(a^2+b^2+c^2)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$$\ge a+b+c+\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Bài 54 Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh bất đẳng thức :

$$\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge 4(a+b+c+1{)}^2$$

Bài 55 Cho các số dương $a_1,a_2,...,a_n$, chứng minh BĐT : 

$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{\sqrt[n]{a_1{a}_2...a_n}}+\frac{2^n.a_1{a}_2...a_n}{(a_1+a_2)(a_2+a_3)...(a_{n-1}+a_n)(a_n+a_1)}$$\ge n+1$

Bài 56 Cho ba số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x^{1997}+y^{1997}+z^{1997}=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$$F=x^2+y^2+z^2$$

Bài 57  Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $abc=1$. Chứng minh rằng :

$\frac{a+b+1}{a+b^2+c^3}+\frac{b+c+1}{b+c^2+a^3}+\frac{c+a+1}{c+a^2+b^3}$$\le \frac{(a+1)(b+1)(c+1)+1}{a+b+c}$

Bài 58 Cho ba số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị lớn nhất của

$$P=\frac{1}{a+b+4}+\frac{1}{b+c+4}+\frac{1}{c+a+4}$$

Bài 59  Cho các số dương $x,y,z$. Chứng minh rằng 

$\frac{(x+1)(y+1{)}^2}{3\sqrt[3]{z^2{x}^2}+1}+\frac{(y+1)(z+1{)}^2}{3\sqrt[3]{x^2{y}^2}+1}+\frac{(z+1)(x+1{)}^2}{3\sqrt[3]{y^2{z}^2}+1}$$\ge x+y+z+3$.

Bài 60 Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh bất đẳng thức

 $$\frac{1}{a\sqrt{a+b}}+\frac{1}{b\sqrt{c+a}}+\frac{1}{c\sqrt{c+a}}\ge \frac{3}{\sqrt{2abc}}$$

Bài 61 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=12$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$$S=a\sqrt[3]{b^2+c^2}+b\sqrt[3]{c^2+a^2}+c\sqrt[3]{a^2+b^2}$$

Bài 62  Cho $n$ là số nguyên dương lớn hơn $1$. Đặt $S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$. Chứng minh rằng 

$$S_n>n\left[(n+1{)}^{\frac{1}{n}}-1\right]$$

Bài 63 Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$$P=\frac{1}{\sqrt{x^5-x^2+3xy+6}}+\frac{1}{\sqrt{y^5-y^2+3yz+6}}+\frac{1}{\sqrt{z^5-z^2+3zx+6}}$$

Bài 64 Cho $a,b,c>0$ và thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng :

$$\frac{1}{(a+1{)}^2+b^2+1}+\frac{1}{(b+1{)}^2+c^2+1}+\frac{1}{(c+1{)}^2+a^2+1}\le \frac{1}{2}$$

Bài 65 Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa $abc=1$. Chứng minh rằng :

$$\frac{1}{a^4(a+b)}+\frac{1}{b^4(b+c)}+\frac{1}{c^4(c+a)}\ge \frac{3}{2}$$

Bài 66 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Đặt :

$$A=\frac{a}{b^2+b}+\frac{b}{c^2+c}+\frac{c}{a^2+a}$$

$$B=\frac{a}{b^3+b}+\frac{b}{c^3+c}+\frac{c}{a^3+a}$$

$$C=\frac{a}{b^3+b^2}+\frac{b}{c^3+c^2}+\frac{c}{a^3+a^2}$$

Chứng minh rằng : 

$$Min\left\{A,B,C\right\}\ge \frac{3}{2}$$

Bài 67 Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+ab\ge c^2+2c$

Chứng minh rằng 

$$a^3+b^3\ge 2c^3$$

Bài 68 Cho $a,b,c>0$ và thỏa mãn điều kiện $abc=1$. Chứng minh rằng :

$$\frac{a}{b^2(c+1)}+\frac{b}{c^2(a+1)}+\frac{c}{a^2(b+1)}\ge \frac{3}{2}$$

Bài 69 Cho các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$. Chứng minh rằng :

$$\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge \sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$$

Bài 70 Chứng minh bất đẳng thức sau với các số dương $a,b,c$ :

$$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\ge 9(ab+bc+ca)$$

Bài 71 Cho các số dương $x,y,z$. Chứng minh :

$$\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{y+\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\frac{z}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)}}\le 1$$

Bài 72  Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng :

$$a^2+b^2+c^2+2\sqrt{3abc}\le 1$$

Bài 73 Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=\sqrt{abc}$. Chứng minh rằng :

$$ab+bc+ca\ge 9(a+b+c)$$

Bài 74 Cho các số dương $a,b,c$ và $2(ab+bc+ca)=3abc$. Chứng minh rằng :

$$\frac{a^2}{\sqrt{a^3+1}+1}+\frac{b^2}{\sqrt{b^3+1}+1}+\frac{c^2}{\sqrt{c^3+1}+1}\ge 3$$

Bài 75 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $ab+bc+ca=abc$. Chứng minh rằng :

$$\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\ge \sqrt{3}$$

Bài 76 Cho các số dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $abcd=1$. Chứng minh rằng :

$$\frac{1}{(1+a{)}^2}+\frac{1}{(1+b{)}^2}+\frac{1}{(1+c{)}^2}+\frac{1}{(1+d{)}^2}\ge 1$$

Bài 77  Cho các số dương $x,y,z$. Chứng minh rằng :

a) 

${\left(\frac{x}{x+y}\right)}^2+{\left(\frac{y}{y+z}\right)}^2+{\left(\frac{z}{z+x}\right)}^2$$\ge \frac{3}{4}$

b) 

${\left(\frac{x}{x+y}\right)}^3+{\left(\frac{y}{y+z}\right)}^3+{\left(\frac{z}{z+x}\right)}^3$$\ge \frac{3}{8}$  

Bài 78    Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh các BĐT sau :

a)

 $\frac{1}{a+b+c}$$\ge \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}$

b) 

$\frac{1}{a^2+ab+bc}+\frac{1}{b^2+bc+ca}+\frac{1}{c^2+ca+ab}$$\le {\left(\frac{a+b+c}{ab+bc+ca}\right)}^2$

c) 

$$\frac{ab}{a^2+bc+ca}+\frac{bc}{b^2+ca+ab}+\frac{ca}{c^2+ab+bc}\le \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$$

Bài 79     Cho các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $xyz=x+y+z+2$. Chứng minh rằng :

$$\frac{1}{\sqrt{x^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{y^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{z^3+1}}\ge 1$$

Bài 80   Cho các số dương $a,b,c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$P$$=\frac{(a+b{)}^2}{(b+3c+2a)(2b+3c+a)}+\frac{(b+c{)}^2}{(c+3a+2b)(2c+3a+b)}+\frac{(c+a{)}^2}{(a+3b+2c)(2a+3b+c)}$

Bài 81 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=1$. Chứng minh rằng :

$$\frac{1}{a^2(1+a)}+\frac{1}{b^2(1+b)}+\frac{1}{c^2(1+c)}\ge \frac{3}{4abc}$$

Bài 82  Cho các số dương $x,y,z$ thỏa $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng :

$$\frac{1+\sqrt{x^2+1}}{x}+\frac{1+\sqrt{y^2+1}}{y}+\frac{1+\sqrt{z^2+1}}{z}\le xyz$$

Bài 83 Cho ba số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$$<\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$

Bài 84 Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :

$\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c{)}^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(c+a{)}^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+(a+b{)}^3}}$$\ge 1$

Bài 85 Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$$P=9xy+10yz+11zx$$

Bài 86 Cho $a,b,c$ dương. Chứng minh rằng :

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$$\ge a+b+c+\frac{1}{b+c}(a-b{)}^2+\frac{1}{c+a}(b-c{)}^2+\frac{1}{a+b}(c-a{)}^2$

Bài 87 Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :

$$\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}\ge 3+\frac{(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2}{(a+b+c{)}^2}$$

Bài 88 Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\le 1$ và $\frac{4}{z}+y\le 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$$P=x+9y+z$$

Bài 89 Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng :

$$\frac{1}{a^5(b+2c{)}^2}+\frac{1}{b^5(c+2a{)}^2}+\frac{1}{c^5(a+2b{)}^2}\ge \frac{1}{3}$$

Bài 90 Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng :

$$\frac{1}{a^{3}b}+\frac{1}{b^{3}c}+\frac{1}{c^{3}a}\ge 3$$

Bài 91 Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh :

$$\frac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}+\frac{b}{\sqrt{a^2+7b^2+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7c^2}}\le 1$$

Bài 92 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh :

$$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}+5\ge (a+b)(b+c)(c+a)$$

Bài 93 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng :

$$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\le \frac{9}{2(1+9abc-a-b-c)}$$

Bài 94 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng :

$$\frac{1}{(2a+b+c{)}^2}+\frac{1}{(a+2b+c{)}^2}+\frac{1}{(a+b+2c{)}^2}\le \frac{3}{16}$$

Bài 95 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $abc=1$. Chứng minh rằng :

$$\frac{a^3+5}{a^3(b+c)}+\frac{b^3+5}{b^3(c+a)}+\frac{c^3+5}{c^3(a+b)}\ge 9$$

Bài 96 Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :

$$\sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}\le \frac{3}{\sqrt{2}}$$

Bài 97 Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng :

$$\frac{1}{(a+1{)}^2(b+c)}+\frac{1}{(b+1{)}^2(c+a)}+\frac{1}{(c+1{)}^2(a+b)}\le \frac{3}{8}$$

Bài 98 Cho các số thực dương $x,y,z$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$P$$=\frac{x^3{y}^4{z}^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2{)}^3}+\frac{y^3{z}^4{x}^3}{(y^4+z^4)(yz+x^2{)}^3}+\frac{z^3{x}^4{y}^3}{(z^4+x^4)(zx+y^2{)}^3}$

Bài 99 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng :

$\frac{(a+b{)}^3}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^2+b^2)}}+\frac{(b+c{)}^3}{\sqrt[3]{2(b+c)(b^2+c^2)}}+\frac{(c+a{)}^3}{\sqrt[3]{2(c+a)(c^2+a^2)}}$$\ge 12$

Bài 100 Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :

$$\frac{a^3}{c(a^2+bc)}+\frac{b^3}{a(b^2+ca)}+\frac{c^3}{b(c^2+ab)}\ge \frac{3}{2}$$