Inequality

Bài toán (Vasile Cirtoaje)

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $abc=1$. Chứng minh rằng :

$$1+\frac{3}{a+b+c}\ge \frac{6}{ab+bc+ca}$$

Lời giải :

Đặt $p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc=1$.

Ta đi chứng minh :

$$1+\frac{3}{p}\ge \frac{6}{q}\iff pq+3q\ge 6p\iff q\ge \frac{6p}{p+3}$$

Như vậy để chứng minh được điều này, ta quy về chứng minh BĐT một biến bằng cách chỉ ra :

$$q\ge f(p)$$ và sau đó thì chứng minh $$f(p)\ge \frac{6p}{p+3}$$

Để ý rằng nếu sử dụng BĐT $Schur$ thì ta chỉ thu được $q\le g(p)$.

Chú ý đến BĐT quen thuộc sau :

$$(xy+yz+zx{)}^2\ge 3xyz(x+y+z)=3(x+y+z)\Rightarrow q^2\ge 3p$$

Do vậy ta chỉ cần chứng minh rằng :

$$3p\ge \frac{36p^2}{(p+3{)}^2}\iff p^2-6p+9=(p-3{)}^2\ge 0$$

Điều này hiển nhiên luôn đúng. Ta có điều phải chứng minh.