Inequality

Bài toán : Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :

$\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c{)}^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(c+a{)}^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+(a+b{)}^3}}$$\ge 1$

Lời giải :

Đặt $x=\frac{b+c}{a},y=\frac{c+a}{b},z=\frac{a+b}{c}$, BĐT đã cho có thể viết thành :

$\sqrt{\frac{1}{1+{\left(\frac{b+c}{a}\right)}^3}}+\sqrt{\frac{1}{1+{\left(\frac{c+a}{b}\right)}^3}}+\sqrt{\frac{1}{1+{\left(\frac{a+b}{c}\right)}^3}}$$\ge 1$$\iff \frac{1}{\sqrt{1+x^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^3}}$$\ge 1$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có :

$\frac{1}{\sqrt{1+x^3}}$$=\frac{1}{\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}}$$\ge \frac{2}{(x-1)+(x^2-x+1)}$$=\frac{2}{x^2+2}$$=\frac{2}{{\left(\frac{b+c}{a}\right)}^2+2}$$=\frac{2a^2}{(b+c{)}^2+2a^2}$$\ge \frac{2a^2}{2b^2+2c^2+2a^2}$$=\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng vế chúng lại ta được :

$\frac{1}{\sqrt{1+x^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^3}}$$\ge \frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}$$=1$

Đây là điều cần chứng minh.