1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán (Mircea Lascu) Cho các số thực dương . Chứng minh rằng : Lời giải : Bất đẳng thức đã cho là thuần nhất nên ta chuẩn hóa . Điều này có thể viết thành : Ta đặt thì . Lúc này ta được . Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành : […]
Bài toán (Tuyển sinh Đại học khối A năm 2009) Cho các số thực dương thỏa . Chứng minh rằng : Lời giải : Đặt thì là độ dài ba cạnh một tam giác. Dễ tính được Khi ấy, giả thiết trở thành : Điều kiện này cho ta thấy tam giác có ba cạnh […]
Bài toán (A.Teplinsky. Ukraine 2005) Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Điều cần chứng minh có thể viết thành : Ta đặt thì với Nên cần chứng minh : Mặt khác dễ thấy tồn tại một tam giác có các cạnh tương ứng là , khi ấy […]
Bài toán (APMO 2002) Cho các số thực dương thoả mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Ta đặt Khi đó ta phải chứng minh : Thật vậy, sử dụng giả thiết và BĐT : Tương tự với các BĐT còn lại, sau đó cộng vế : Ta có điều phải chứng minh.
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Thăng Long, Lâm Đồng) Giải hệ phương trình Lời giải : Nếu . Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử . Khi ấy hệ vô nghiệm vì : và . Xét . Áp dụng BĐT : Tương tự : Nhân vế […]
Bài toán (APMO 2004) Chứng minh bất đẳng thức sau với các số dương : Lời giải : Khai triển bất đẳng thức trên ta cần chứng minh : Theo bất đẳng thức : Mặt khác ta có BĐT quen thuộc sau : Áp dụng BĐT và BĐT : Từ : Đây là điều cần […]
Bài toán (USA MO 2001) Cho các số không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Nếu tất cả các số đều lớn hơn thì . Do đó có ít nhất một số không vượt quá $1$. Gỉa sử . Khi ấy : Từ giả thiết ta đổi biến . Khi đó áp dụng […]
Bài toán (Crux Mathematicorum) Cho các số dương . Chứng minh : Lời giải : Áp dụng BĐT : Hoàn toàn tương tự ta có : Do đó : Đây là điều phải chứng minh.
Bài toán (Romania, 2005) Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Kết hợp giả thiết, ta đưa BĐT về dạng thuần nhất bậc sáu : Bất đẳng thức này thuần nhất bậc sáu nên ta chuẩn hóa . Khi đó đặt Thì : Như vậy ta chỉ cần […]
Bài toán (Poland, 1999) Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải 1 : Với những bài toán mà giả thiết là và bất đẳng thức cần chứng minh không thuần nhất thì ta thường kết hợp giả thiết để thuần nhất bài toán : Đây là một kết quả […]
Bài toán : Cho các số thực và thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Ta đổi biến Khi đó ta cần chứng minh : Đây là kết quả cơ bản. Ta có điều phải chứng minh.
Bài toán (Belarus 1996) Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Ta biến đổi giả thiết : Ta đặt . Cũng dễ thấy . Ta cần chứng minh : Thật vậy, ta có : Ta có điều phải chứng minh.
Bài toán (Võ Quốc Bá Cẩn, Mathematical Reflections, 2007) Cho các số thực dương . Chứng minh rằng : Lời giải : Bất đẳng thức đã cho có thể viết thành : Ta đặt . Ta có thể viết lại BĐT dưới dạng : Dễ dàng thấy rằng tồn tại một tam giác có các cạnh […]
Bài toán (Indian NMO 2014) Với số tự nhiên bất kì , chứng minh rằng: là số chẵn Lời giải : Bổ đề 1 : Với số nguyên dương và số nguyên dương . Ta có : i) ii) Chứng minh : Đặt . Nếu thì Nếu thì Bổ đề được chứng minh. Bổ đề 2 : Với […]
Bài toán : Cho các số thực thỏa mãn và . Chứng minh rằng : Lời giải : Thay ta viết biểu thức vế trái thành một tam thức bậc hai ẩn : Sử dụng tính chất ta được : Vậy cần chỉ ra rằng Mà nên chứng minh : Hiển nhiên vì Ta có […]
Bài toán : Cho các số dương và . Chứng minh rằng : Lời giải : Theo BĐT : Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng vế theo vế, ta dẫn đến cần phải chứng minh : Đặt thì : Và cần chứng minh : Điều này luôn đúng vì : Ta có điều […]
Bài toán : Cho các số dương thỏa . Chứng minh rằng : Lời giải : Ta đổi biến thì giả thiết trở thành . Và cần chứng minh : Điều này luôn đúng theo BĐT :
Bài toán (China TST 2004) Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Bổ đề : Với các số thực dương thì : Chứng minh bổ đề : Theo BĐT : Tương tự thì Từ đó bổ đề được chứng minh. Quay trở lại bài toán : Áp dụng bổ […]
Bài toán : Cho các số dương . Chứng minh rằng : a) b) (Vietnam TST 2005) Lời giải : a) Ta có thể viết điều phải chứng minh thành : Từ đó nếu đặt thì và cần chỉ ra : Vì nên ta lại đổi biến […]
Bài toán : Cho các số dương . Chứng minh các BĐT sau : a) b) c) Lời giải : a) Theo BĐT : Hoàn toàn tương tự, cuối cùng ta được : Đây là điều cần chứng minh. b) Vì vế phải là một phân thức có mẫu nên ta đánh giá bằng […]