Inequality

Bài toán (USA MO 2001)  Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Chứng minh rằng :

$$0\le ab+bc+ca-abc\le 2$$

Lời giải :

Nếu tất cả các số $a,b,c$ đều lớn hơn $1$ thì $a^2+b^2+c^2+abc>4$. Do đó có ít nhất một số không vượt quá $1$. Gỉa sử $a\le 1$. Khi ấy :

$$ab+bc+ca-abc=bc(1-a)+a(b+c)\ge 0$$

Từ giả thiết ta đổi biến $\left(a,b,c\right)\to \left(2sin\frac{A}{2},2sin\frac{B}{2},2sin\frac{C}{2}\right)$.

Khi đó áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có :

$ab$$=4sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}$$=2\sqrt{sinA.tan\frac{A}{2}sinB.tan\frac{B}{2}}$$\le sinA.tan\frac{B}{2}+sinB.tan\frac{A}{2}$$=sinA.cot\frac{C+A}{2}+sinB.cot\frac{B+C}{2}$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng vế chúng lại :

$ab+bc+ca$$\le (sinA+sinB)cot\frac{A+B}{2}+(sinB+sinC)cot\frac{B+C}{2}+(sinC+sinA)cot\frac{C+A}{2}$$=2cos\frac{A-B}{2}cos\frac{A+B}{2}+2cos\frac{B-C}{2}.cos\frac{B+C}{2}+2cos\frac{C-A}{2}.cos\frac{C+A}{2}$$=2(cosA+cosB+cosC)$$=6-4\left(si{n}^2\frac{A}{2}+si{n}^2\frac{B}{2}+si{n}^2\frac{C}{2}\right)$$=6-(a^2+b^2+c^2)$

Mà theo đề bài ta có $6-(a^2+b^2+c^2)=2+abc$ nên :

$$ab+bc+ca\le 2+abc$$

Ta có điều phải chứng minh.