Inequality

Bài toán (Tuyển sinh Đại học khối A năm 2009) 

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa $x(x+y+z)=3yz$. Chứng minh rằng :

$$(x+y{)}^3+(x+z{)}^3+3(x+y)(y+z)(z+x)\le 5(y+z{)}^3$$

Lời giải :

Đặt $a=y+z,b=x+z,c=x+y$ thì $a,b,c$ là độ dài ba cạnh một tam giác.

Dễ tính được $x=\frac{b+c-a}{2},y=\frac{c+a-b}{2},z=\frac{a+b-c}{2},x+y+z=\frac{a+b+c}{2}$

Khi ấy, giả thiết trở thành :

$(b+c-a)(a+b+c)$$=3(c+a-b)(a+b-c)$$\iff (b+c{)}^2-a^2$$=3a^2-3(b-c{)}^2$$\iff a^2$$=b^2+c^2-bc$

Điều kiện này cho ta thấy tam giác $ABC$ có ba cạnh tương ứng $a,b,c$ và góc $A$ thỏa $cosA=\frac{1}{2}\iff A=60^0$

Ta cần chứng minh :

$b^3+c^3+3abc$$\le 5a^3$$\iff (b+c)(b^2-bc+c^2)+3abc$$=a^2(b+c)+3abc$$\le 5a^3$$\iff a(b+c)+3bc$$\le 5a^2$

Theo định lí sin ta cần chứng minh :

$$sinA(sinB+sinC)+3sinBsinC\le 5si{n}^{2}A\iff 2\sqrt{3}(sinB+sinC)+12sinBsinC\le 15$$

Mà :

$$sinB+sinC=2sin\frac{B+C}{2}cos\frac{B-C}{2}\le 2cos\frac{\pi -A}{2}=\sqrt{3}$$

và $$sinB.sinC\le \frac{1}{4}{\left(sinB+sinC\right)}^2=\frac{3}{4}$$

Từ đó dễ dàng suy ra điều phải chứng minh.