Inequality

Bài toán (Belarus 1996)

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=\sqrt{abc}$. Chứng minh rằng :

$$ab+bc+ca\ge 9(a+b+c)$$

Lời giải :

Ta biến đổi giả thiết :

$$\sqrt{\frac{a}{bc}}+\sqrt{\frac{b}{ca}}+\sqrt{\frac{c}{ab}}=1$$

Ta đặt $z=\sqrt{\frac{a}{bc}},y=\sqrt{\frac{b}{ca}},x=\sqrt{\frac{c}{ab}}\to x+y+z=1$.

Cũng dễ thấy $a=\frac{1}{xy},b=\frac{1}{yz},c=\frac{1}{zx}$.

Ta cần chứng minh :

$\frac{1}{x^{2}yz}+\frac{1}{x{y}^{2}z}+\frac{1}{xy{z}^2}$$\ge 9\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)$$\iff xy+yz+zx$$\ge 9xyz$

Thật vậy, ta có :

$$xy+yz+zx=(xy+yz+zx)(x+y+z)\ge 3\sqrt[3]{x^2{y}^2{z}^2}.3\sqrt[3]{xyz}=9xyz$$

Ta có điều phải chứng minh.