Inequality

Bài toán : Cho các số dương $a,b,c$ và $2(ab+bc+ca)=3abc$. Chứng minh rằng :

$$\frac{a^2}{\sqrt{a^3+1}+1}+\frac{b^2}{\sqrt{b^3+1}+1}+\frac{c^2}{\sqrt{c^3+1}+1}\ge 3$$

Lời giải :

Theo BĐT $AM-GM$ :

$\frac{a^2}{\sqrt{a^3+1}+1}$$=\frac{a^2}{\sqrt{(a+1)(a^2-a+1)}+1}$$\ge \frac{a^2}{\frac{(a+1)+(a^2-a+1)}{2}+1}$$=\frac{2a^2}{a^2+4}$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng vế theo vế, ta dẫn đến cần phải chứng minh :

$$\frac{a^2}{a^2+4}+\frac{b^2}{b^2+4}+\frac{c^2}{c^2+4}\ge \frac{3}{2}$$

Đặt $x=\frac{2}{a},y=\frac{2}{b},z=\frac{2}{c}$ thì :

$2(ab+bc+ca)$$=3abc$$\iff \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$=\frac{3}{2}$$\iff x+y+z$$=3$

Và cần chứng minh :

$\frac{(2/x{)}^2}{(2/x{)}^2+4}+\frac{(2/y{)}^2}{(2/y{)}^2+4}+\frac{(2/z{)}^2}{(2/z{)}^2+4}$$\ge \frac{3}{2}$$\iff \frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}$$\ge \frac{3}{2}$$\iff \frac{x^2}{1+x^2}+\frac{y^2}{1+y^2}+\frac{z^2}{1+z^2}$$\le \frac{3}{2}$

Điều này luôn đúng vì :

$\frac{x^2}{1+x^2}+\frac{y^2}{1+y^2}+\frac{z^2}{1+z^2}$$\le \frac{x^2}{2x}+\frac{y^2}{2y}+\frac{z^2}{2z}$$=\frac{x+y+z}{2}$$=\frac{3}{2}$

Ta có điều phải chứng minh.