Inequality

Bài toán  (A.Teplinsky. Ukraine 2005) 

 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng :

$\sqrt{\frac{1}{a}-1}.\sqrt{\frac{1}{b}-1}+\sqrt{\frac{1}{b}-1}.\sqrt{\frac{1}{c}-1}+\sqrt{\frac{1}{c}-1}.\sqrt{\frac{1}{a}-1}$$\ge 6$

Lời giải :

Điều cần chứng minh có thể viết thành :

$\sqrt{\frac{(1-a)(1-b)}{ab}}+\sqrt{\frac{(1-b)(1-c)}{bc}}+\sqrt{\frac{(1-c)(1-a)}{ca}}$$\ge 6$$\iff \frac{1}{\sqrt{\frac{ab}{(b+c)(c+a)}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{bc}{(b+a)(c+a)}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{ca}{(b+c)(b+a)}}}$$\ge 6$

Ta đặt $x=b+c,y=c+a,z=a+b$ thì $a=\frac{y+z-x}{2}=p-x,b=\frac{z+x-y}{2}=p-y,c=\frac{x+y-z}{2}=p-z$ với $p=\frac{x+y+z}{2}$

Nên cần chứng minh :

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(p-x)(p-y)}{xy}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{(p-y)(p-z)}{yz}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{(p-z)(p-x)}{zx}}}$$\ge 6$

Mặt khác dễ thấy tồn tại một tam giác $XYZ$ có các cạnh tương ứng là $x,y,z$, khi ấy :

$$\sqrt{\frac{(p-y)(p-z)}{yz}}=sin\frac{X}{2}$$, tương tự với $$Y,Z$$.

Ta viết điều cần chứng minh thành :

$$\frac{1}{sin\frac{X}{2}}+\frac{1}{sin\frac{Y}{2}}+\frac{1}{sin\frac{Z}{2}}\ge 6$$

Điều này luôn đúng theo $Cauchy-Schwarz$ :

$\frac{1}{sin\frac{X}{2}}+\frac{1}{sin\frac{Y}{2}}+\frac{1}{sin\frac{Z}{2}}$$\ge \frac{9}{sin\frac{X}{2}+sin\frac{Y}{2}+sin\frac{Z}{2}}$$\ge \frac{9}{3/2}$$=6$

Ta có điều phải chứng minh.