Inequality

Bài toán : Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh các BĐT sau :

a)

 $\frac{1}{a+b+c}$$\ge \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}$

b) 

$\frac{1}{a^2+ab+bc}+\frac{1}{b^2+bc+ca}+\frac{1}{c^2+ca+ab}$$\le {\left(\frac{a+b+c}{ab+bc+ca}\right)}^2$

c) 

$$\frac{ab}{a^2+bc+ca}+\frac{bc}{b^2+ca+ab}+\frac{ca}{c^2+ab+bc}\le \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$$

Lời giải :

a) Theo BĐT $Cauchy-Schwarz$ :

$\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}$$=\frac{a^3}{(a^2+a^2+b^2)(a^2+c^2+a^2)}$$\le \frac{a^3}{(a^2+ab+ac{)}^2}$$=\frac{a}{(a+b+c{)}^2}$

Hoàn toàn tương tự, cuối cùng ta được :

$\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}$$\le \frac{a+b+c}{(a+b+c{)}^2}$$=\frac{1}{a+b+c}$

Đây là điều cần chứng minh.

b) Vì vế phải là một phân thức có mẫu $"ab+bc"ca"$ nên ta đánh giá bằng $Cauchy-Schwarz$ cho từng mẫu thức của từng phân thức bên vế trái nhằm tạo ra một phân thức mới cũng có mẫu là $"ab+bc+ca"$

Theo $Cauchy-Schwarz$ :

$$\frac{1}{a^2+ab+bc}=\frac{c^2+ab+bc}{(a^2+ab+bc)(c^2+ab+bc)}\le \frac{c^2+ab+bc}{(ac+ab+bc{)}^2}$$

Hoàn toàn tương tự, cuối cùng ta được :

$\frac{1}{a^2+ab+bc}+\frac{1}{b^2+bc+ca}+\frac{1}{c^2+ca+ab}$$\le \frac{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}{(ab+bc+ca{)}^2}$$={\left(\frac{a+b+c}{ab+bc+ca}\right)}^2$

Đây là điều cần chứng minh.

c) Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ :

$\frac{ab}{a^2+bc+ca}$$=\frac{ab(b^2+bc+ca)}{(a^2+bc+ca)(b^2+bc+ca)}$$\le \frac{ab(b^2+bc+ca)}{(ab+bc+ca{)}^2}$

Ta được :

$$VT\le \frac{ab(b^2+bc+ca)+bc(c^2+ca+ab)+ca(a^2+ab+bc)}{(ab+bc+ca{)}^2}$$

Và ta cần chỉ ra được :

$ab(b^2+bc+ca)+bc(c^2+ca+ab)+ca(a^2+ab+bc)$$\le (a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)$$\iff a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a$$\ge abc(a+b+c)$$\iff \frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}$$\ge a+b+c$

Hiển nhiên đúng theo $Cauchy-Schwarz$.

Ta được điều phải chứng minh.