Inequality

Bài toán (APMO 2004) Chứng minh bất đẳng thức sau với các số dương $a,b,c$ :

$$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\ge 9(ab+bc+ca)$$

Lời giải :

Khai triển bất đẳng thức trên ta cần chứng minh :

$$a^2{b}^2{c}^2+2(a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2)+4(a^2+b^2+c^2)+8\ge 9(ab+bc+ca)$$

Theo bất đẳng thức $AM-GM$  :

$(a^2{b}^2+1)+(b^2{c}^2+1)+(c^2{a}^2+1)$$\ge 2(ab+bc+ca)$$\Rightarrow 2(a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2)+6$$\ge 4(ab+bc+ca)(1)$

Mặt khác ta có BĐT quen thuộc sau :

$$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca(2)$$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ và BĐT $Schur$ :

$a^2{b}^2{c}^2+2$$=a^2{b}^2{c}^2+1+1$$\ge 3\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}$$=\frac{3abc}{\sqrt[3]{abc}}$$\ge \frac{9abc}{a+b+c}$$\ge 4(ab+bc+ca)-(a+b+c{)}^2(3)$

Từ $(1)(2)(3)$ :

$(a^2{b}^2{c}^2+2)+2(a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2+3)+3(a^2+b^2+c^2)+(a^2+b^2+c^2)$$\ge 4(ab+bc+ca)-(a+b+c{)}^2+4(ab+bc+ca)+3(ab+bc+ca)+(a^2+b^2+c^2)$$=9(ab+bc+ca)$

Đây là điều cần chứng minh.