Inequality

Bài toán : Cho các số thực $a,b,c\in \left(0,1\right)$ và thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng :

$\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}$$\ge \frac{3}{4}\left(\frac{1-a^2}{a}+\frac{1-b^2}{b}+\frac{1-c^2}{c}\right)$

Lời giải :

Ta đổi biến $\left(a,b,c\right)\to \left(tan\frac{A}{2},tan\frac{B}{2},tan\frac{C}{2}\right)$

Khi đó ta cần chứng minh :

$\sum _{cyc}\frac{tan\frac{A}{2}}{1-ta{n}^2\frac{A}{2}}$$\ge \frac{3}{4}\left(\sum _{cyc}\frac{1-ta{n}^2\frac{A}{2}}{tan\frac{A}{2}}\right)$$\iff \frac{1}{2}\left(tanA+tanB+tanC\right)$$\ge \frac{3}{2}\left(\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}+\frac{1}{tanC}\right)$$\iff tanA+tanB+tanC$$\ge \frac{3(tanA.tanB+tanB.tanC+tanC.tanA)}{tanA.tanB.tanC}$$=\frac{3(tanA.tanB+tanB.tanC+tanC.tanA)}{tanA+tanB+tanC}$$\iff (tanA+tanB+tanC{)}^2$$\ge 3(tanA.tanB+tanB.tanC+tanC.tanA)$

Đây là kết quả cơ bản. Ta có điều phải chứng minh.