1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán : Cho và thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Theo BĐT : Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng chúng lại theo vế : Đây là điều phải chứng minh.
Bài toán : Tìm hàm số thỏa mãn và : Lời giải : Trong cho thì được Trong cho thì được Thay thì . Ta chứng minh bằng quy nạp – Với thì khẳng định đúng. – Gỉa sử khẳng định đúng đến , xét với : Từ ta có : Theo giả thiết quy […]
Bài toán (CĐT Olympic 30-4 toán 10 năm 2014 THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai) Cho tam giác . Chứng minh rằng : Lời giải : Ta đặt thì Ta có , tương tự với Từ đó ta có : Chú ý là vì nên Do đó : Như vậy ta cần chứng […]
Bài toán : Cho các số thực dương thỏa . Chứng minh rằng : Lời giải : Đổi biến thì . Từ đó : Ta có điều phải chứng minh.
Bài toán : Cho các số dương thỏa mãn . Đặt : Chứng minh rằng : Lời giải : Bổ đề 1 : Cho các số thực dương thỏa . Chứng minh : Chứng minh bổ đề 1 : Ta chứng minh , việc còn lại tương tự. Theo BĐT : Thiết lập các BĐT tương […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2003 THPT Kon Tum, tỉnh Kon Tum) Giải phương trình trên Lời giải : Vì nên đặt Khi đó phương trình trở thành : Mặt khác áp dụng BĐT ta có : Dấu đẳng thức phải xảy ra, khi và chỉ khi : Tức là Gỉa […]
Bài toán : Tìm hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Ta có Ta có Như vậy ta có Ta giả sử . Xét với : Nếu thì : Nếu Nếu Nếu Nếu Nếu Theo nguyên lí quy nạp ta có
Bài toán : Tìm hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Gỉa sử Thì . Do đó đơn ánh. Mặt khác trong cho được Do đó . Do đó toàn ánh. Vậy song ánh. Vì toàn ánh nên . Đặt . Ta có Trong cho được Hệ phương trình cho ta nghiệm . Do vậy . […]
Bài toán : Giải hệ phương trình Lời giải : Ta đặt , trong đó là ba góc một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp và các cạnh tương ứng . Khi đó Tương tự với . Từ đó theo phương trình đầu : Từ đó : Vậy tam giác vuông tại Suy […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Hùng Vương, Bình Dương) Cho ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng Lời giải : Để ý rằng vì bình đẳng nên đẳng thức xảy ra tại , thay vào giả thiết và dự đoán dấu bằng cũng xảy ra tại giả […]
Bài toán (Tổng quát Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Mạc Đĩnh Chi, TpHCM) Cho là số nguyên dương và số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Ta đặt thì giả thiết đã cho được viết lại thành : Từ đó áp dụng BĐT : Hoàn toàn tương […]
Bài toán : Trong các nghiệm của hệ phương trình . Hãy tìm nghiệm sao cho nhỏ nhất. Lời giải : Từ giả thiết ta đặt Và Từ đó Do đó : Tức là và đẳng thức xảy ra khi : Bằng cách chọn các giá trị ta được nghiệm sau thỏa mãn :
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long) Cho và thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng : Lời giải : Bổ đề 1 : Cho các số thực dương thỏa . Chứng minh : Bổ đề 2 : Cho các số thực dương thỏa . Chứng […]
Bài toán (IMO 1982) Cho hàm số và thỏa mãn : Tính . Lời giải : Ta có Từ đó : mà nên . Từ đó Ta dự đoán rằng Gỉa sử khẳng định trên đúng đến . Xét với : Theo nguyên lí quy nạp thì . Theo giả thiết . Nếu thì : Thế […]
Bài toán : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Từ bằng quy nạp ta có Ta có : Từ hai điều này ta suy ra : Thay , ta được : Như vậy thì là hàm số cần tìm thỏa đề bài.
Bài toán : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Từ bằng quy nạp ta có Ta có : Từ hai điều trên ta suy ra : Thay , ta được : Đây là phương trình bậc hai ẩn có : Nghiệm của nó là : Nếu Do đó Kết […]
Bài toán : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Từ phương trình đầu và bằng quy nạp ta được Ta có : Từ hai điều trên ta có : Cho ta được : Đặt , ta được : Nhưng rõ ràng Do đó Kết luận : Hàm số cần […]
Bài toán : Trong một trường học có thầy cô giáo và học sinh thỏa điều kiện : a) Mỗi thầy cô giáo dạy đúng học sinh. b) Với hai học sinh bất kì có đúng thầy cô dạy chung. Chứng minh rằng Lời giải : Gọi là thầy dạy hai học sinh . Ta […]
Bài toán : Gỉa sử rằng trong một nhóm người thỏa điều kiện cứ người bất kì thì có số cặp người quen nhau. Tìm . Lời giải : Theo đề bài cứ một nhóm gồm người thì có số cặp quen nhau, mà trong người, số nhóm người là . Do đó số cặp quen […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Bạc Liêu, tỉnh Bạc Liêu) Cho các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức : Lời giải : Xét ta được . Thay vào ta được Ta có : Ta viết dưới dạng một phương trình […]