Inequality, Trigonometry

Bài toán  (CĐT Olympic 30-4 toán 10 năm 2014 THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai)

 Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng :

$\frac{sinAsinB}{si{n}^2\frac{C}{2}}+\frac{sinBsinC}{si{n}^2\frac{A}{2}}+\frac{sinC.sinA}{si{n}^2\frac{B}{2}}$$\ge 9$

Lời giải :

Ta đặt $a=tan\frac{A}{2},b=tan\frac{B}{2},c=tan\frac{C}{2}(a,b,c>0)$ thì $ab+bc+ca=1$

Ta có $sinA=\frac{2a}{1+a^2},sin\frac{A}{2}=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}$, tương tự với $B,C$

Từ đó ta có :

$\frac{sinA.sinB}{si{n}^2\frac{C}{2}}$$=\frac{\frac{4ab}{(1+a^2)(1+b^2)}}{\frac{c^2}{1+c^2}}$$=\frac{4(1+c^2)}{c^2(1+a^2)(1+b^2)}$

Chú ý là vì  $ab+bc+ca=1$ nên $a^2+1=(a+b)(a+c),b^2+1=(b+c)(b+a),c^2+1=(c+a)(c+b)$

Do đó :

$$\frac{4ab(1+c^2)}{c^2(1+a^2)(1+b^2)}=\frac{4ab}{c^2(a+b{)}^2}$$

Như vậy ta cần chứng minh :

$$\frac{ab}{c^2(a+b{)}^2}+\frac{bc}{a^2(b+c{)}^2}+\frac{ca}{b^2(c+a{)}^2}\ge \frac{9}{4}$$

Thật vậy, áp dụng BĐT $Holder$ :

$\left[\frac{ab}{c^2(a+b{)}^2}+\frac{bc}{a^2(b+c{)}^2}+\frac{ca}{b^2(c+a{)}^2}\right]\left(\sum abc(a+b)\right)\left(\sum abc(a+b)\right)$$\ge {\left(\sum \sqrt[3]{\frac{ab.a^2{b}^2{c}^2(a+b{)}^2}{c^2(a+b{)}^2}}\right)}^3$$=(ab+bc+ca{)}^3$$=1$

Kéo theo :

$\frac{ab}{c^2(a+b{)}^2}+\frac{bc}{a^2(b+c{)}^2}+\frac{ca}{b^2(c+a{)}^2}$$\ge \frac{1}{4a^2{b}^2{c}^2(a+b+c{)}^2}$

Mặt khác :

$$a^2{b}^2{c}^2(a+b+c{)}^2\le \frac{1}{9}(ab+bc+ca{)}^4=\frac{1}{9}$$

Suy ra :

$$\frac{ab}{c^2(a+b{)}^2}+\frac{bc}{a^2(b+c{)}^2}+\frac{ca}{b^2(c+a{)}^2}\ge \frac{9}{4}$$

Đây là điều cần chứng minh.