Functional Equation

Bài toán : Tìm hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x^2+f(y))=y+f^2(x)(1)$$

Lời giải :

Gỉa sử $\exists a,b\in \mathbb{R}:f(a)=f(b)$

Thì $f(x^2+f(a))=f(x^2+f(b))\Rightarrow a+f^2(x)=b+f^2(x)\Rightarrow a=b$. Do đó $f$ đơn ánh.

Mặt khác trong $(1)$ cho $x=0$ được $f(f(y))=y+f^2(0),\forall y\in \mathbb{R}$

Do đó $\forall b\in \mathbb{R},\exists a=f(b-f^2(0)):f(a)=f(f(b-f^2(0)))=b$. Do đó $f$ toàn ánh.

Vậy $f$ song ánh.

Vì $f$ toàn ánh nên $\exists b\in \mathbb{R}:f(b)=0$. Đặt $f(0)=a$.

Ta có $f(f(b))=b+f^2(0)\iff f(0)=b+a^2=a$

Trong $(1)$ cho $x=b,y=0$ được $f(b^2+f(0))=f^2(b)=0=f(b)\iff f(b^2+a)=f(b)\iff b^2+a=b$

Hệ phương trình $\{\begin{array}{c}b+a^2=a\\ b^2+a=b\end{array}$ cho ta nghiệm $a=b=0$.

Do vậy $f(0)=0$.

Trong $(1)$ cho $x=0$ được $f(f(y))=y,\forall y\in \mathbb{R}$

Trong $(1)$ cho $y=0$ được $f(x^2)=f^2(x),\forall x\in \mathbb{R}(2)$

Do đó $(1)$ được viết thành :

$f(x^2+f(y))$$=f(f(y))+f(x^2),\forall x,y\in \mathbb{R}$$\iff f(x+y)$$=f(x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R},x$$\ge 0$

Suy ra rằng với mọi $x$ không âm thì :

$$0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$$

Suy ra hàm $f$ lẻ.

Do đó với $x\le 0$ ta có :

$f(y)$$=f(-x+(x+y))$$=f(-x)+f(x+y)$$=-f(x)+f(x+y),\forall x,y\in \mathbb{R},x$$\le 0$$\iff f(x)+f(y)$$=f(x+y),\forall x,y\in \mathbb{R},x$$\le 0$

Do vậy $f(x+y)=f(x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$

Kết hợp với $(2)$ ta có $f(x)=cx,\forall x\in \mathbb{R}$. Thay vào $(1)$ tìm được $c=1$.

Kết luận : Hàm số cần tìm là $\boxed{f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}}$