1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán (Turkey TST 2013) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : Lời giải : Xét ta được . Xét . Nếu chia hết cho thì từ phương trình, ta có : Đây là điều vô lí. Do đó không chia hết cho . Nếu , kéo theo , vô lí. Do vậy phải có . Do đó […]
Bài toán (IMO 1987) : Chứng minh rằng không tồn tại hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Nếu hàm đã cho thỏa . Điều này vô lí. Nếu hàm đã cho thỏa thì Từ đó : Mặt khác có Từ ta suy ra . Điều này cũng vô lí Từ đó ta phải […]
Bài toán : Tìm hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Trong thay bởi được : Áp dụng lại được : Từ suy ra : Trong ta đổi vai trò của cho nhau : Từ ta suy ra : Trong ta cho được : Từ ta có : Thay vào thì : Kết […]
Bài toán : Cho các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Lời giải : Gỉa thiết đã cho có thể viết thành . Điều này cho ta quyền đổi biến với . Khi đó : Ta có : Ta phải đánh giá thay vì vì khi đó biểu thức còn […]
Bài toán : Tìm hàm số thỏa mãn với mọi số thực : và Lời giải : Trong thay bởi và áp dụng ta được : Lần lượt cho bằng ta được : Do đó là ba nghiệm của phương trình . Mặt khác giả sử . Do đó là đơn ánh Từ ta suy ra […]
Bài toán : Tìm hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Từ phương trình hàm ban đầu cho được Ta chứng minh bằng quy nạp Gỉa sử . Ta cần chứng minh . Với , giả sử có . Khi đó đặt . Mặt khác dễ dàng chứng minh đơn ánh nên , đây là điều […]
Bài toán : Tìm đa thức thỏa mãn : Lời giải : Trong ta cho được : Gỉa sử Khi đó đồng nhất hệ số cao nhất trong : Nhận thấy thỏa mãn. Và nếu thì : Tức là . Thay vào : Kết luận : Các đa thức thỏa mãn đề bài là
Bài toán : Cho các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của : Lời giải : Gỉa thiết đã cho có thể viết thành : Do vậy ta đặt với . Khi đó : Kết luận :
Bài toán : Giải hệ phương trình Lời giải : Ta đặt với và Theo công thức nhân đôi : Do đó phương trình thứ hai có thể viết lại thành : Nếu Nếu , điều này tương đương : Khi thì , nghiệm tương tự trường hợp trên. Khi Nhưng chú ý Mâu thuẫn với […]
Bài toán : Tìm hàm thỏa mãn và : Lời giải : Trong ta cho được Bằng quy nạp ta chứng minh được Xét , đặt Ta được Như vậy ta có Từ đây cho thì được Trong ta thay bởi và bởi với : Trong ta thay bởi và bởi với , được : Như vậy […]
Bài toán : (Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 10 năm 2013) Cho hàm số và thỏa mãn các điều kiện sau : Tính giá trị Lời giải : Ta có Lại có nên Áp dụng kết quả này thì : Mà theo đề bài Do vậy ta phải có Kết luận :
Bài toán : Cho các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Lời giải : Để ý thấy biểu thức có thể viết lại dưới dạng : Các biểu thức trong là những biểu thức đậm chất lượng giác, ta khai thác giả thiết : Như vậy nếu […]
Bài toán : (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2012 THPT Chuyên Phan Ngọc Hiển, Cà Mau) Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của : Lời giải : Ta đặt thì . Khi đó biểu thức trở thành : Gỉa sử đẳng thức xảy ra khi . Áp […]
Bài toán : Cho các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Lời giải : Dấu bằng đạt được tại nên ta có hướng giải quyết sau : Sử dụng BĐT : Như vậy ta sẽ chọn để đẳng thức xảy ra, tức là Khi đó ta có […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2012 THPT Chuyên Thăng Long, Lâm Đồng) Cho là số nguyên dương lớn hơn . Đặt . Chứng minh rằng Lời giải : Theo BĐT , ta có : Dẫn đến : . Đây là điều cần chứng minh.
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2012 THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu, Đồng Tháp) Giải hệ phương trình Lời giải : Điều kiện Phương trình sau viết thành : Nhưng ta có Nên . Thay vào phương trình đầu ta được phương trình : Nếu thì Nhưng khi đó . Mâu thuẫn. Nếu […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2012 THPT Chuyên Lí Tự Trọng, Cần Thơ) Giải hệ phương trình Lời giải : Điều kiện Theo BĐT : Mặt khác vì Như vậy thì Do đó trong các đánh giá trên thì dấu bằng phải xảy ra, khi và chỉ khi . Thay vào […]
Bài toán : a) Cho tam giác có và . Chứng minh rằng : b) Cho tam giác có và . Chứng minh rằng : Lời giải : a) Theo định lí sin ta tính được . Phương trình có thể viết thành : Như vậy ta đi chứng minh Điều này là hiển nhiên vì b) Theo […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2012 THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu, Đồng Tháp) Cho các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Lời giải : Gỉa thiết làm ta nhớ đến đẳng thức quen thuộc . Vì vậy ta tìm cách đánh giá Ta […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2012 THPT Chuyên Nguyễn Du, Đắc Lắc) Tìm các số nguyên dương thỏa mãn Lời giải : Bổ đề : Với là hợp số, thì ta có . Chứng minh bổ đề : Vì là hợp số nên Nếu thì do có nên tích sẽ chứa cả […]