Inequality

Bài toán : Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz+x+y-z=0$. Tìm giá trị lớn nhất của :

$$P=\frac{2}{x^2+1}+\frac{3}{y^2+1}-\frac{2}{z^2+1}$$

Lời giải :

Gỉa thiết đã cho có thể viết thành :$xy+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}=1$

Do vậy ta đặt $x=tan\frac{A}{2},y=tan\frac{B}{2},\frac{1}{z}=tan\frac{C}{2}$ với $A+B+C=\pi$.

Khi đó :

$P$$=\frac{2}{1+x^2}+\frac{3}{1+y^2}-\frac{\frac{2}{z^2}}{1+\frac{1}{z^2}}$$=\frac{2}{1+ta{n}^2\frac{A}{2}}+\frac{3}{1+ta{n}^2\frac{B}{2}}-\frac{2.ta{n}^2\frac{C}{2}}{1+ta{n}^2\frac{C}{2}}$$=2co{s}^2\frac{A}{2}+3co{s}^2\frac{B}{2}-2si{n}^2\frac{C}{2}$$=(cosA+cosC)-3si{n}^2\frac{B}{2}+3$$=2cos\frac{A-C}{2}.cos\frac{A+C}{2}-3si{n}^2\frac{B}{2}+3$$\le -3si{n}^2\frac{B}{2}+2sin\frac{B}{2}+3$$=-3{\left(sin\frac{B}{2}-\frac{1}{3}\right)}^2+\frac{10}{3}$$\le \frac{10}{3}$

Kết luận :

$$MaxP=\frac{10}{3}\iff x=\frac{1}{\sqrt{2}},y=\frac{\sqrt{2}}{4},z=\sqrt{2}$$