Inequality

Bài toán : Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=12$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$$S=a\sqrt[3]{b^2+c^2}+b\sqrt[3]{c^2+a^2}+c\sqrt[3]{a^2+b^2}$$

Lời giải :

Dấu bằng đạt được tại $a=b=c=2$ nên ta có hướng giải quyết sau :

Sử dụng BĐT $AM-GM$ :

$$a\sqrt[3]{b^2+c^2}=\sqrt[3]{ma.n{a}^2.(b^2+c^2)}\le \frac{ma+n{a}^2+b^2+c^2}{3}$$

Như vậy ta sẽ chọn $m,n$ để đẳng thức xảy ra, tức là $ma=n{a}^2=b^2+c^2\Rightarrow m=4,n=2$

Khi đó ta có $2a\sqrt[3]{b^2+c^2}=\sqrt[3]{4a.2a^2.(b^2+c^2)}\le \frac{4a+2a^2+b^2+c^2}{3}$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại theo vế :

$2S$$=2a\sqrt[3]{b^2+c^2}+2b\sqrt[3]{c^2+a^2}+2c\sqrt[3]{a^2+b^2}$$\le \frac{4(a+b+c)+4(a^2+b^2+c^2)}{3}$$=\frac{4}{3}(a+b+c)+16$$\le \frac{4}{3}\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+16$$=24$

Kết luận : $MaxS=24\iff a=b=c=2$