Functional Equation

Bài toán : (Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 10 năm 2013)

Cho hàm số $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ và thỏa mãn các điều kiện sau :

$$\{\begin{array}{c}f(1)=1\\ f(n+3)\le f(n)+3\\ f(n+2012)\ge f(n)+2012\end{array}\forall n\in \mathbb{Z}$$

Tính giá trị $f(2013)$

Lời giải :

Ta có $f(n+2013)\le f(n+2010)+3\le ...\le f(n+3)+2010\le f(n)+2013$

Lại có $f(n)+2012\le f(n+2012)$ nên $f(n+2013)\le f(n)+2013\le f(n+2012)+1\iff f(n+1)\le f(n)+1,\forall n\in \mathbb{Z}$

Áp dụng kết quả này thì :

$$f(n+2012)\le f(n+2011)+1\le ...\le f(n)+2012$$

Mà theo đề bài $f(n+2012)\ge f(n)+2012$

Do vậy ta phải có $f(n+2012)=f(n)+2012$

Kết luận : $f(2013)=2013$