Functional Equation

Bài toán : Tìm hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(f(x)+y)=f(x+y)+xf(y)-xy-x+1,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Trong $(1)$ thay $y$ bởi $f(y)$ được :

$$f(f(x)+f(y))=f(x+f(y))+xf(f(y))-xf(y)-x+1,\forall x,y\in \mathbb{R}(2)$$

Áp dụng $(1)$ lại được :

$$f(x+f(y))=f(x+y)+yf(x)-xy-y+1,\forall x,y\in \mathbb{R}(3)$$

Từ $(2)(3)$ suy ra :

$$f(f(x)+f(y))=f(x+y)-xy-(x+y)+2+yf(x)-xf(y)+xf(f(y)),\forall x,y\in \mathbb{R}(4)$$

Trong $(4)$ ta đổi vai trò của $x,y$ cho nhau :

$$f(f(x)+f(y))=f(x+y)-xy-(x+y)+2+xf(y)-yf(x)+yf(f(x)),\forall x,y\in \mathbb{R}(5)$$

Từ $(4)(5)$ ta suy ra :

$f(x+y)-xy-(x+y)+2+xf(y)-yf(x)+yf(f(x))$$=f(x+y)-xy-(x+y)+2+yf(x)-xf(y)+xf(f(y)),\forall x,y\in \mathbb{R}$$\iff xf(y)-yf(x)+yf(f(x))$$=yf(x)-xf(y)+xf(f(y)),\forall x,y\in \mathbb{R}(6)$

Trong $(1)$ ta cho $y=0$ được :

$$f(f(x))=f(x)+xf(0)-x+1,\forall x\in \mathbb{R}(7)$$

Từ $(6)(7)$ ta có :

$xf(y)-yf(x)+y\left(f(x)+xf(0)-x+1\right)$$=yf(x)-xf(y)+x\left(f(y)+yf(0)-y+1\right),\forall x,y\in \mathbb{R}$$\iff xf(y)+y$$=yf(x)+x,\forall x,y\in \mathbb{R}$$\iff \frac{f(x)-1}{x}$$=\frac{f(y)-1}{y},\forall x,y\in \mathbb{R},x,y$$\ne 0$$\iff f(x)$$=cx+1,\forall x,y\in \mathbb{R},x,y$$\ne 0$

Thay vào $(1)$ thì :

$c(cx+1+y)+1$$=c(x+y)+1+x(cy+1)-xy-x+1,\forall x,y\in \mathbb{R}$$\iff c^{2}x+cy+(c+1)$$=cx+cy+(c-1)xy+2,\forall x,y\in \mathbb{R}$$\Rightarrow c$$=1$

Kết luận : Hàm số cần tìm là $\boxed{f(x)=x+1,\forall x\in \mathbb{R}}$