Trigonometry

Bài toán :

a) Cho tam giác $ABC$ có $BC=a,AB=AC=b$ và $A=\frac{\pi }{9}$. Chứng minh rằng :

$$a^3+b^3=3a{b}^2(1)$$

b) Cho tam giác $ABC$ có $BC=a,AB=AC=b$ và $A=\frac{\pi }{7}$. Chứng minh rằng :

$$a^4-3a^2{b}^2-a{b}^3+b^4=0(2)$$

Lời giải :

a) Theo định lí sin ta tính được $\frac{a}{b}=2cos\frac{4\pi }{9}$. Phương trình $(1)$ có thể viết thành :

$${\left(\frac{a}{b}\right)}^3-3.\frac{a}{b}+1=0$$

Như vậy ta đi chứng minh $8co{s}^3\frac{4\pi }{9}-6cos\frac{4\pi }{9}+1=0$

Điều này là hiển nhiên vì $8co{s}^3\frac{4\pi }{9}-6cos\frac{4\pi }{9}+1=2\left(4co{s}^3\frac{4\pi }{9}-3cos\frac{4\pi }{9}\right)+1=2.cos\frac{12\pi }{9}+1=2.\frac{-1}{2}+1=0$

b) Theo định lí sin ta tính được $\frac{a}{b}=2cos\frac{3\pi }{7}$

Phương trình $(2)$ có thể viết thành :

${\left(\frac{a}{b}\right)}^4-3{\left(\frac{a}{b}\right)}^2-\frac{a}{b}+1$$=0$$\iff \left(\frac{a}{b}+1\right)\left(\frac{a^3}{b^3}-\frac{a^2}{b^2}-2.\frac{a}{b}+1\right)$$=0$$\iff {\left(\frac{a}{b}\right)}^3-{\left(\frac{a}{b}\right)}^2-2.\frac{a}{b}+1$$=0$

Như vậy ta đi chứng minh :

$8co{s}^3\frac{3\pi }{7}-4co{s}^2\frac{3\pi }{7}-4cos\frac{3\pi }{7}+1$$=0$$\iff 2\left(4co{s}^3\frac{3\pi }{7}-3cos\frac{3\pi }{7}\right)-4co{s}^2\frac{3\pi }{7}+2cos\frac{3\pi }{7}+1$$=0$$\iff 2cos\frac{9\pi }{7}-2\left(cos\frac{6\pi }{7}+1\right)+2cos\frac{3\pi }{7}+1$$=0$$\iff cos\frac{9\pi }{7}+cos\frac{\pi }{7}+cos\frac{3\pi }{7}$$=\frac{1}{2}$

Hay $$cos\frac{\pi }{7}+cos\frac{3\pi }{7}+cos\frac{5\pi }{7}=1/2$$

Ta chứng minh đẳng thức này.

Đặt $A=cos\frac{\pi }{7}+cos\frac{3\pi }{7}+cos\frac{5\pi }{7}$

Ta có :

$2sin\frac{2\pi }{7}.A$$=2sin\frac{2\pi }{7}.cos\frac{\pi }{7}+2sin\frac{2\pi }{7}.cos\frac{3\pi }{7}+2sin\frac{2\pi }{7}.cos\frac{5\pi }{7}$$=\left(sin\frac{\pi }{7}+sin\frac{3\pi }{7}\right)+\left(sin\frac{-\pi }{7}+sin\frac{5\pi }{7}\right)+\left(sin\frac{-3\pi }{7}+sin\pi \right)$$=sin\frac{5\pi }{7}$$=sin\left(\pi -\frac{2\pi }{7}\right)$$=sin\frac{2\pi }{7}$$\Rightarrow A$$=\frac{1}{2}$

Như vậy ta có điều phải chứng minh.