Inequality

Bài toán : Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy=1+z(x+y)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$$P=\frac{2xy(1+xy)}{(1+x^2)(1+y^2)}+\frac{z}{1+z^2}$$

Lời giải :

Gỉa thiết đã cho có thể viết thành $\frac{1}{xy}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}=1$.

Điều này cho ta quyền đổi biến $\frac{1}{x}=tan\frac{A}{2},\frac{1}{y}=tan\frac{B}{2},z=tan\frac{C}{2}$ với $A+B+C=\pi$.

Khi đó :

$P$$=\frac{2\left(1+\frac{1}{xy}\right)}{\left(1+\frac{1}{x^2}\right)\left(1+\frac{1}{y^2}\right)}+\frac{z}{1+z^2}$$\le \frac{1}{1+ta{n}^2\frac{A}{2}}+\frac{1}{1+ta{n}^2\frac{B}{2}}+\frac{tan\frac{C}{2}}{1+ta{n}^2\frac{C}{2}}$$=co{s}^2\frac{A}{2}+co{s}^2\frac{B}{2}+\frac{sinC}{2}$$=1+\frac{1}{2}(cosA+cosB+sinC)$

Ta có :

$cosA+cosB+sinC+sin\frac{\pi }{k}$$=2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}+2sin\frac{C+\frac{\pi }{k}}{2}.cos\frac{C-\frac{\pi }{k}}{2}$

Ta phải đánh giá $sin\frac{C+\frac{\pi }{k}}{2}\le 1$ thay vì $cos\frac{C-\frac{\pi }{k}}{2}\le 1$ vì khi đó biểu thức còn lại sẽ ở dưới dạng $cos+sin$ và không thể áp dụng được công thức biến đổi tổng thành tích.

Như vậy, theo nhận xét trên ta có :

$cosA+cosB+sinC+sin\frac{\pi }{k}$$=2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}+2sin\frac{C+\frac{\pi }{k}}{2}.cos\frac{C-\frac{\pi }{k}}{2}$$\le 2cos\frac{A+B}{2}+2cos\frac{C-\frac{\pi }{k}}{2}$$=4.cos\frac{(A+B+C)-\pi /k}{4}.cos\frac{A+B-C+\frac{\pi }{k}}{4}$$\le 4.cos\frac{A+B+C-\pi /k}{2}$$=4.cos\frac{\pi -\pi /k}{4}$

Sở dĩ có đánh giá $cos\frac{A+B-C+\pi /k}{2}\le 1$ là vì $cos\frac{A+B+C-\pi /k}{2}=const$.

Như vậy dấu bằng xảy ra tại các điểm sau :

$sin\frac{C+\pi /k}{2}$$=1,cos\frac{A-B}{2}$$=1,cos\frac{A+B-C+\pi /k}{4}$$=1$$\Rightarrow C$$=\pi -\frac{\pi }{k}$$=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2k}$$\Rightarrow k$$=3$

Từ đó :

$cosA+cosB+sinC+sin\frac{\pi }{3}$$\le 4.cos\frac{\pi -\frac{\pi }{3}}{4}$$=2\sqrt{3}$$\Rightarrow cosA+cosB+sinC$$\le \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Dẫn đến :

$$P\le \frac{4+3\sqrt{3}}{4}$$

Kết luận : $MaxP=\frac{4+3\sqrt{3}}{4}\iff A=B=30^0,C=120^0\iff x=y=\frac{1}{2-\sqrt{3}},z=\sqrt{3}$