Number Theory

Bài toán (Turkey TST 2013)

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

$$m^6=n^{n+1}+n-1$$

Lời giải :

Xét $n=1$ ta được $m=1$.

Xét $n>1$. Nếu $n+1$ chia hết cho $3$ thì từ phương trình, ta có :

$m^6$$=n^{n+1}+n-1$$=n^{n+1}$$\Rightarrow m^2$$\ge n^{\frac{n+1}{3}}$$\Rightarrow m^2$$\ge n^{\frac{n+1}{3}}+1$$\Rightarrow m^6$$\ge n^{n+1}+3n^{\frac{2n+2}{3}}+3^{\frac{n+1}{3}}+1$$\Rightarrow n^{n+1}+n-1$$\ge n^{n+1}+3n^{\frac{2n+2}{3}}+3^{\frac{n+1}{3}}+1$$\Rightarrow n$$\ge 3n^{\frac{2n+2}{3}}+3^{\frac{n+1}{3}}+2$

Đây là điều vô lí.

Do đó $n+1$ không chia hết cho $3$. Nếu $n+1\equiv 1(mod3)\Rightarrow 3\mid n$, kéo theo $m^6\equiv -1(mod3)$, vô lí. Do vậy phải có $n+1\equiv -1(mod3)$.

Do đó tồn tại ước nguyên tố $p$ của $n+1$ mà $p\equiv -1(mod3)$.

Hoàn toàn tương tự như trên, khi xét $n+1$ chia hết cho $2$ ta cũng gặp điều vô lí, dẫn đến $n+1$ lẻ.

Chú ý $n+1$ lẻ, từ phương trình :

$$m^6+3=n^{n+1}+1+(n+1)⋮n+1⋮p$$

Suy ra

$m^6$$\equiv -3(modp)$$\Rightarrow \left(\frac{-3}{p}\right)$$=1$$\Rightarrow \left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{3}{p}\right)$$=1$

Theo định lí tiêu chuẩn $Euler$ ta có :

$$\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}$$

Theo luật tương hỗ $Gauss$ ta có :

$\left(\frac{p}{3}\right)\left(\frac{3}{p}\right)$$=(-1{)}^{\frac{(p-1)(3-1)}{4}}$$=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}$$\Rightarrow \left(\frac{3}{p}\right)$$=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}.\left(\frac{p}{3}\right)$$=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}.\left(\frac{-1}{3}\right)$$=-1.(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}$

Từ hai kết quả này, ta suy ra :

$\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{3}{p}\right)$$=-1.(-1{)}^{p-1}$$=-1$$\iff \left(\frac{-3}{p}\right)$$=-1$

Mâu thuẫn vì ở trên ta chứng minh được $-3$ là số chính phương $modp$.

Kết luận : Phương trình có nghiệm nguyên dương duy nhất $\boxed{(m,n)=(1,1)}$