Bài toán : (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2012 THPT Chuyên Phan Ngọc Hiển, Cà Mau) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $15a+\sqrt[3]{5}b+\sqrt[5]{3}c=3$. Tìm giá trị lớn nhất của : \[A=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^5}\] Lời giải : Ta đặt $15a=x,\sqrt[3]{5}b=y,\sqrt[5]{3}c=z$ thì $x+y+z=3$. Khi đó biểu thức $A$ trở thành : \[A=\dfrac{15}{x}+\dfrac{5}{y^3}+\dfrac{3}{z^5}\] Gỉa sử đẳng thức xảy ra khi $x=X,y=Y,z=Z$. Áp dụng BĐT $AM-GM$ : \[\dfrac{15}{x}+\dfrac{15x}{X^2}\geq \dfrac{30}{X}\] \[\dfrac{5}{y^3}+\dfrac{5y}{Y^4}+\dfrac{5y}{Y^4}+\dfrac{5y}{Y^4}\geq \frac{20}{Y^3}\] \[\dfrac{3}{z^5}+\dfrac{3z}{Z^6}+\dfrac{3z}{Z^6}+\dfrac{3z}{Z^6}+\dfrac{3z}{Z^6}+\dfrac{3z}{Z^6}\geq \dfrac{18}{Z^5}\] Cộng vế theo vế ba BĐT trên : \[A+\dfrac{15x}{X^2}+\dfrac{15y}{Y^3}+\dfrac{15z}{Z^6}\geq \dfrac{30}{X}+\dfrac{20}{Y^3}+\dfrac{18}{Z^5}\] Ta chọn $X,Y,Z$ thỏa hệ : \[\left\{\begin{matrix} X+Y+Z=3\\ \dfrac{15}{X^2}=\dfrac{15}{Y^4}=\dfrac{15}{Z^6} \end{matrix}\right.\] Ta có thể thấy ngay $X=Y=Z=1$ là nghiệm của hệ trên. Từ đó : \[A+15(x+y+z)\geq 30+20+18\Leftrightarrow A\geq 23\] Kết luận : \[MinA=23\Leftrightarrow x=y=z=1\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{15},b=\dfrac{1}{\sqrt[3]{5}},c=\dfrac{1}{\sqrt[5]{3}}\]

Inequality

Bài toán : (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2012 THPT Chuyên Phan Ngọc Hiển, Cà Mau)

Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $15 a + 35 b + 53 c = 3$ . Tìm giá trị lớn nhất của :

$A = \frac{1}{a} + \frac{1}{b ^{3}} + \frac{1}{c ^{5}}$

Lời giải :

Ta đặt $15 a = x, 35 b = y, 53 c = z$ thì $x + y + z = 3$ .

Khi đó biểu thức $A$ trở thành :

$A = \frac{15}{x} + \frac{5}{y ^{3}} + \frac{3}{z ^{5}}$

Gỉa sử đẳng thức xảy ra khi $x = X, y = Y, z = Z$ .

Áp dụng BĐT $A M - GM$ :

$\frac{15}{x} + \frac{15 x}{X ^{2}} \geq \frac{30}{X}$

$\frac{5}{y ^{3}} + \frac{5 y}{Y ^{4}} + \frac{5 y}{Y ^{4}} + \frac{5 y}{Y ^{4}} \geq \frac{20}{Y ^{3}}$

$\frac{3}{z ^{5}} + \frac{3 z}{Z ^{6}} + \frac{3 z}{Z ^{6}} + \frac{3 z}{Z ^{6}} + \frac{3 z}{Z ^{6}} + \frac{3 z}{Z ^{6}} \geq \frac{18}{Z ^{5}}$

Cộng vế theo vế ba BĐT trên :

$A + \frac{15 x}{X ^{2}} + \frac{15 y}{Y ^{3}} + \frac{15 z}{Z ^{6}} \geq \frac{30}{X} + \frac{20}{Y ^{3}} + \frac{18}{Z ^{5}}$

Ta chọn $X, Y, Z$ thỏa hệ :

${X + Y + Z = 3 \frac{15}{X ^{2}} = \frac{15}{Y ^{4}} = \frac{15}{Z ^{6}}$

Ta có thể thấy ngay $X = Y = Z = 1$ là nghiệm của hệ trên.

Từ đó :

$A + 15 (x + y + z) \geq 30 + 20 + 18 \Leftrightarrow A \geq 23$

Kết luận :

$M in A = 23 \Leftrightarrow x = y = z = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{15}, b = \frac{1}{3 5}, c = \frac{1}{5 3}$