Number Theory

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2012 THPT Chuyên Nguyễn Du, Đắc Lắc)

Tìm các số $n,k$ nguyên dương thỏa mãn $(n+1{)}^k-1=n!$

Lời giải :

Bổ đề : Với $n$ là hợp số, $n>4$ thì ta có $n\mid (n-1)!$.

Chứng minh bổ đề :

Vì $n$ là hợp số nên $n=pq(p,q\in \mathbb{N},1<p,q<n)$

Nếu $p\ne q$ thì do có $1<p,q\le n-1$ nên tích $(n-1)!=\mathrm{1.2.3....}(n-1)$ sẽ chứa cả $p,q$, dẫn đến $n=pq\mid (n-1)!$

Nếu $p=q$ thì dễ chứng minh $2p=2q\le n-1$ (vì giả sử $2p=2q=n-1\Rightarrow p=q\ge \frac{n}{2}\Rightarrow n=pq\ge \frac{n^2}{4}\Rightarrow n\le 4$, đây là điều mâu thuẫn)

Do đó tích $(n-1)!=\mathrm{1.2.3....}(n-1)$ sẽ chứa cả $p$ và $2p$, dẫn đến $2n=2p^2\mid (n-1)!\Rightarrow n\mid (n-1)!$

Bổ đề được chứng minh.

Trở lại bài toán :

Với $n=1$ ta được $k=1$. Với $n>2$ thì ta có $n!$ chẵn, từ đó dẫn đến $n$ chẵn.

Xét $n=2$ thì được $k=1$. Với $n=4$ thì được $k=2$. Xét $n>4$, vì $n$ chẵn nên $n$ là hợp số.

Theo bổ đề :

$n\mid (n-1)!$$\Rightarrow n^2\mid n!$$\Rightarrow n^2\mid (n+1{)}^k-1$$=n^k+C_k^1{n}^{n-1}+...+kn$$\Rightarrow n\mid k$$\Rightarrow k$$\ge n$

Từ đó :

$$n!=(n+1{)}^k-1\ge (n+1{)}^n-1$$

Điều này là không thể xảy ra vì :

$$(n+1{)}^n-1>n^n-1>n!$$

Kết luận : Nghiệm nguyên dương của phương trình là $\boxed{(n,k)=(1,1)(2,1),(4,2)}$