Inequality

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2012 THPT Chuyên Thăng Long, Lâm Đồng)

 Cho $n$ là số nguyên dương lớn hơn $1$. Đặt $S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$. Chứng minh rằng 

$$S_n>n\left[(n+1{)}^{\frac{1}{n}}-1\right]$$

Lời giải :

Theo BĐT $AM-GM$, ta có :

$S_n+n$$=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+n$$=\left(1+1\right)+\left(\frac{1}{2}+1\right)+\left(\frac{1}{3}+1\right)+...+\left(\frac{1}{n}+1\right)$$=2+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}+...+\frac{n+1}{n}$$>n\sqrt[n]{\frac{\mathrm{2.3.4...}(n+1)}{\mathrm{2.3.4...}n}}$$=n(n+1{)}^{\frac{1}{n}}$

Dẫn đến :

$$S_n>n\left[(n+1{)}^{\frac{1}{n}}-1\right]$$.

Đây là điều cần chứng minh.