Functional Equation

Bài toán : Tìm hàm số $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ và thỏa mãn :

$$f(f(f(n)))+f(f(n))+f(n)=3n,\forall n\in \in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

Lời giải :

Từ phương trình hàm ban đầu cho $n=1$ được

$$f(f(f(1)))+f(f(1))+f(1)=3\Rightarrow f(f(f(1)))=f(f(1))=f(1)=1$$

Ta chứng minh bằng quy nạp $f(n)=n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Gỉa sử $f(k)=k,\forall k\in {\mathbb{N}}^{\ast },k\le n$. Ta cần chứng minh $f(k+1)=k+1$.

Với $m>n$, giả sử có $f(m)\le n$. Khi đó đặt $t=f(m)\le n\Rightarrow f(t)=t=f(m)$.

Mặt khác dễ dàng chứng minh $f$ đơn ánh nên $t=m$, đây là điều vô lí vì $m>n\ge t$

Do vậy với $m>n$ thì $f(m)>n$

Áp dụng điều này ta có :

$$f(k+1)>k\Rightarrow f(k+1)\ge k+1$$

$$f(f(k+1))>k\Rightarrow f(f(k+1))\ge k+1$$

$$f(f(f(k+1)))>k\Rightarrow f(f(k+1))\ge k+1$$

Do vậy

$$f(f(f(k+1)))+f(f(k+1))+f(k+1)\ge 3(k+1)$$.

Mà theo đề bài lại có

$$f(f(f(k+1)))+f(f(k+1))+f(k+1)=3(k+1)$$

Như vậy dấu bằng phải xảy ra, tức là $f(k+1)=k+1$

Theo nguyên lí quy nạp ta có $f(n)=n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Kết luận : Hàm số thỏa đề bài là $\boxed{f(n)=n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$