Polynomial

Bài toán : Tìm đa thức $P (x)$ thỏa mãn :

$P (x) P (y) = P^{2} (\frac{x + y}{2}) - P^{2} (\frac{x - y}{2}), \forall x, y \in R (1)$

Lời giải :

Trong $(1)$ ta cho $x = 3 y$ được :

$P (3 y) P (y) = P^{2} (3 y) - P^{2} (y), \forall y \in R \Leftrightarrow P (x) P (3 x) = P^{2} (2 x) - P^{2} (x), \forall x \in R (2)$

Gỉa sử $P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{1} x + a_{0}, (a_{n} \neq = 0)$

Khi đó đồng nhất hệ số cao nhất trong $(2)$ :

$(a_{n} . x^{n}) . (a_{n} . 3^{n} . x^{n}) = a_{n}^{2} . (2 x)^{2 n} - a_{n}^{2} . x^{2 n} \Leftrightarrow 3^{n} . a_{n}^{2} . x^{2 n} = (4^{n} a_{n}^{2} - a_{n}^{2}) x_{2 n} \Leftrightarrow 3^{n} + 1 = 4^{n}$

Nhận thấy $n = 1$ thỏa mãn. Và nếu $n > 1$ thì :

$4^{n} = (3 + 1)^{n} = 3^{n} + C_{n}^{1} 3^{n - 1} + ... + 1 > 3^{n} + 1$

Tức là $P (x) = a x + b, \forall x \in R$ .

Thay vào $(2)$ :

$(a x + b) (3 a x + b) = (2 a x + b)^{2} - (a x + b)^{2}, \forall x \in R \Leftrightarrow 3 a^{2} x^{2} + 4 ab x + b^{2} = 3 a^{2} x + 2 ab x, \forall x \in R \Leftrightarrow b = 0, a \in R$

Kết luận : Các đa thức thỏa mãn đề bài là $P (x) = a x, \forall x \in R$

Polynomial

Đề bài

Mô tả