System of Equations

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2012 THPT Chuyên Lí Tự Trọng, Cần Thơ)

Giải hệ phương trình 

$$\{\begin{array}{c}\sqrt{1+\sqrt{1-y^2}}=y\left(1+2\sqrt{1-x^2}\right)\\ \frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}}=\frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{xy}}}\end{array}$$

Lời giải :

Điều kiện $\left|x\right|,\left|y\right|\le 1,xy\ge 0$

Theo BĐT $Cauchy-Schwarz$ :

${\left(\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}}\right)}^2$$\le 2\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\right)$$\iff \frac{4}{1+\sqrt{xy}}$$\le 2\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\right)$$\iff \left(\frac{1}{1+x}-\frac{1}{1+\sqrt{xy}}\right)+\left(\frac{1}{1+y}-\frac{1}{1+\sqrt{xy}}\right)$$\ge 0$$\iff \frac{\sqrt{x}(\sqrt{y}-\sqrt{x})}{(1+x)(1+\sqrt{xy})}+\frac{\sqrt{y}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{(1+y)(1+\sqrt{xy})}$$\ge 0$$\iff (\sqrt{y}-\sqrt{x})\left[\sqrt{x}(1+y)-\sqrt{y}(1+x)\right]$$\ge 0$$\iff (\sqrt{x}-\sqrt{y}{)}^2(\sqrt{xy}-1)$$\ge 0$

Mặt khác vì $\left|xy\right|\le 1\Rightarrow {\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}^2\left(\sqrt{xy}-1\right)\le 0$

Như vậy thì ${\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}^2\left(\sqrt{xy}-1\right)=0$

Do đó trong các đánh giá trên thì dấu bằng phải xảy ra, khi và chỉ khi $x=y$.

Thay vào phương trình đầu ta được :

$$\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=x+2x\sqrt{1-x^2}$$

Đây là một phương trình đơn giản, giải được bằng phép thế lượng giác.

Kết luận : Nghiệm của hệ là $(x,y)=(1,1),(1/2,1/2)$