System of Equations

Bài toán : Giải hệ phương trình 

$$\{\begin{array}{c}x+y+z=xyz\\ x(y^2-1)(z^2-1)+y(z^2-1)(x^2-1)+z(x^2-1)(y^2-1)=0\end{array}$$

Lời giải :

Ta đặt $x=tanA,y=tanB,z=tanC$ với $A+B+C=\pi$ và $A,B,C\ne \frac{\pi }{2}$

Theo công thức nhân đôi : $tan2X=\frac{2tanX}{1-ta{n}^{2}X}\Rightarrow 1-ta{n}^{2}X=\frac{2tanX}{tan2X}$

Do đó phương trình thứ hai có thể viết lại thành :

$tanA(1-ta{n}^{2}B)(1-ta{n}^{2}C)+tanB(1-ta{n}^{2}C)(1-ta{n}^{2}A)+tanC(1-ta{n}^{2}A)(1-ta{n}^{2}B)$$=0$$\iff \frac{4tanA.tanB.tanC}{tan2B.tan2C}+\frac{4tanA.tanB.tanC}{tan2C.tan2A}+\frac{4tanA.tanB.tanC}{tan2A.tan2B}$$=0$$\iff tanA.tanB.tanC(tan2A+tan2B+tan2C)$$=0$

Nếu $tanA.tanB.tanC=0\iff A=0^0\vee B=0^0\vee C=0^0\iff (x,y,z)=(0,t,-t),(t,0,-t),(t,-t,0)(t\in \mathbb{R})$

Nếu $tan2A+tan2B+tan2C=0$, điều này tương đương :

$\frac{sin(2A+2B)}{cos2A.cos2B}+\frac{sin2C}{cos2C}$$=0$$\iff \frac{-sin2C}{cos2A.cos2B}+\frac{sin2C}{cos2C}$$=0$$\iff sin2C(cos2A.cos2B-cos2C)$$=0$$\iff sin2C$$=0\vee cos2A.cos2B$$=cos2C$

Khi $sin2C=0$ thì $C=0^0$, nghiệm tương tự trường hợp trên.

Khi $cos2A.cos2B=cos2C\iff cos(2A-2B)+cos(2A+2B)=2cos2C\iff cos(2A-2B)+cos2C=2cos2C\iff cos(2A-2B)=cos2C\iff A-B=\pm C+k\pi$

Nhưng chú ý $A+B+C=\pi \Rightarrow k=0\Rightarrow A-B=\pm C\Rightarrow A=\frac{\pi }{2}\vee B=\frac{\pi }{2}$

Mâu thuẫn với điều kiện.

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là $(x,y,z)=(0,t,-t),(t,0,-t),(t,-t,0)$ trong đó $t$ là số thực tùy ý.