System of Equations

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2012 THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu, Đồng Tháp)

 Giải hệ phương trình 

$$\{\begin{array}{c}25y+9\sqrt{9x^2-4}=\frac{2}{x}+\frac{18x}{y^2+1}\\ x{y}^4+3xy+6x=y^5+3y^2+6y\end{array}$$

Lời giải :

Điều kiện $\left|x\right|\ge \frac{3}{2},x\ne 0$

Phương trình sau viết thành :

$$(x-y)(y^4+3y+6)=0$$

Nhưng ta có

$y^4+3y+6$$=(y^4-y^2+\frac{1}{4})+(y^2+3y+\frac{9}{4})+\frac{7}{2}$$={\left(y^2-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{7}{2}$$>0$

Nên $x=y$.

Thay vào phương trình đầu ta được phương trình :

$25x+9\sqrt{9x^2-4}$$=\frac{2}{x}+\frac{18x}{x^2+1}$$\iff 25+\frac{9\sqrt{9x^2-4}}{x}$$=\frac{2}{x^2}+\frac{18}{x^2+1}(1)$

• Nếu $x\ge \frac{2}{3}$ thì $(1)\iff 25+9\sqrt{9-\frac{4}{x^2}}=\frac{2}{x^2}+\frac{18}{x^2+1}$

Nhưng khi đó $\frac{2}{x^2}+\frac{18}{x^2+1}\le \frac{441}{26}<25\le 25+9\sqrt{9-\frac{4}{x^2}}$. Mâu thuẫn.

• Nếu $x\le \frac{-2}{3}$ thì $(1)\iff 25-9\sqrt{9-\frac{4}{x^2}}=\frac{2}{x^2}+\frac{18}{x^2+1}=\frac{18/x^2}{1+1/x^2}$

Ta đặt $t=\frac{1}{x^2}>0$ ta được :

$25-9\sqrt{9-4t}$$=2t+\frac{18t}{t+1}$$\iff 2(t-2)+\frac{18t}{t+1}-12+9\left(\sqrt{9-4t}-1\right)$$=0$$\iff 2(t-2)+\frac{6(t-2)}{t+1}+9.\frac{4(2-t)}{1+\sqrt{9-4t}}$$=0$$\iff (t-2)\left(1+\frac{3}{t+1}-\frac{18}{\sqrt{9-4t}+1}\right)$$=0$

Vì $t>0$ nên :

$$1+\frac{3}{t+1}<4$$ và $$\frac{18}{\sqrt{9-4t}+1}>\frac{18}{\sqrt{9}+1}=\frac{9}{2}>4$$

Kéo theo $1+\frac{3}{t+1}-\frac{18}{\sqrt{9-4t}+1}<0$, như vậy phải có $t=2$

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là $\left(x,y\right)=\left(\frac{-1}{\sqrt{2}},\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)$